Question

Острый угол параллелограмма равен60о, а его площадь равна 11√3, меньшая диагональ равна 10. Найдите большую диагональ параллелограмма.

Answer 1

Придется, наверное, использовать теорему косинусов. Площадь параллелограмма равна произведению его сторон, умноженного на синус угла между ними. Обозначим одну из сторон через a, а вторую через b. Тогда $S=a*b*\sin60^0$ или $11\sqrt{3}=a*b*\frac{\sqrt{3}}{2}$. Упростив это выражение, получаем, что $a*b=22$. По теореме косинусов выразим наименьшую диагональ через две стороны. $10^2=a^2+b^2-2*a*b*\cos60^0$. Получается $100=a^2+b^2-2*a*b*\frac{1}{2}.$

$100=a^2+b^2-ab$ так как произведение двух сторон равно 22, то $a^2+b^2=122$ Снова по теореме косинусов находится неизвестная диагональ, обозначим AC, находим через две стороны параллелограмма и угол между ними. Угол между ними равен по свойствам параллелограмма $180^0-60^0=120^0$

 

$AC^2=a^2+b^2-2*a*b\cos120^0$, заметим, что $\cos120^0=\cos(180^0-60^0)=\cos180^0\cos60^0-\sin180^0*\sin60^0=$

$=-1*\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$

Значит $AC^2=a^2+b^2-2*a*b*(-\frac{1}{2})$

$AC^2=a^2+b^2+a*b$

Учитывая, что $a^2+b^2=122$ и $a*b=22.$ То получается, что $AC^2=122+22$

$AC^2=144$ Значит AC=12.

 

Ответ: большая диагональ равна 12.