Question

Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6. Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.

Answer 1

Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6√3. 

Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей. 

––––––––––––––

Обозначим O и O1 центры окружностей радиусов r и 3r соответствено. 

Пусть AК и ВМ – общие внешняя касательные этих окружностей (точки A и В лежат на меньшей окружности, К и М– на большей). Соединим точки касания   и  радиусы соответственных окружностей. 

Из О проведем перпендикуляр ОН к КО1. 

АКНО – прямоугольник. 

В ⊿ ОНО1 катет ОН=АК=6√3; катет НО1=2r, гипотенуза ОО1=r+3r=4r

Катет О1Н рпвен половине гипотенузы ОО1, следовательно, 

∠ НОО1=30º, ∠ НО1=60º, и длина ОО1=ОН:sin 60º

4r=ОО1=6√3):(√3/2)=12

r=12:4=3

О1К=3r=9

Искомый периметр - сумма: ◡АВ -меньшей окружности, ◡КМ - большей окружности и длин АК и ВМ двух общих касательных.

∠АОО1=О1ОВ=∠АОН+∠НОО1=90°+30°=120°

◡АВ содержит угол АОВ=120º и равна 1/3 длины С меньшей окружности 

С=2πr=6π

◡АВ=2π

∠КО1М=2∠КО1О=120°

меньшая ◡КМ внутри фигуры=1/3 длины окружности,  большая 

◡КМ =2/3 длины  С1 большей окружности 

С1=2π•9=18p

◡КМ=12π

 Периметр равен сумме найденных длин  дуг и длин двух общих внешних касательных.

Р=2π+12π+2•6√3=14π+12√3