Question

|2x-1| - |3x-2| - |4x-3| +11 =10x

Answer 1

Для начала, мы можем упростить левую часть уравнения. Воспользуемся свойствами модуля:

|2x-1| + |3x-2| + |4x-3| = 10x + 11

-1 и 1 — это значения, при которых выражение 2x-1 становится равным нулю или меняет знак. Поэтому, разделим решение на несколько случаев:

1) Если 2x - 1 ≥ 0, то модуль |2x-1| можно упросить следующим образом: |2x-1| = 2x-1. 2) Если 2x - 1 < 0, то модуль |2x-1| можно упросить следующим образом: |2x-1| = -(2x-1) = -2x+1.

Таким образом, получаем два случая для первого модуля:

1) Если 2x-1 ≥ 0, то уравнение примет вид: (2x-1) + |3x-2| + |4x-3| = 10x + 11. 2) Если 2x-1 < 0, то уравнение примет вид: -(2x-1) + |3x-2| + |4x-3| = 10x + 11.

Решим каждый из случаев по отдельности.

1) Если 2x-1 ≥ 0: 2x-1 + |3x-2| + |4x-3| = 10x + 11.

Теперь рассмотрим модули:

1.1) Если 3x-2 ≥ 0, то уравнение примет вид: 2x-1 + (3x-2) + |4x-3| = 10x + 11. 1.2) Если 3x-2 < 0, то уравнение примет вид: 2x-1 + -(3x-2) + |4x-3| = 10x + 11.

2) Если 2x-1 < 0: -(2x-1) + |3x-2| + |4x-3| = 10x + 11.

Теперь рассмотрим модули:

2.1) Если 3x-2 ≥ 0, то уравнение примет вид: -(2x-1) + (3x-2) + |4x-3| = 10x + 11. 2.2) Если 3x-2 < 0, то уравнение примет вид: -(2x-1) + -(3x-2) + |4x-3| = 10x + 11.

Теперь решим каждый из этих случаев.

1.1) Если 3x-2 ≥ 0: 2x - 1 + 3x - 2 + |4x-3| = 10x + 11. 5x - 3 + |4x-3| = 10x + 11.

Теперь рассмотрим модуль |4x-3|:

1.1.1) Если 4x-3 ≥ 0, то уравнение примет вид: 5x - 3 + (4x-3) = 10x + 11. 1.1.2) Если 4x-3 < 0, то уравнение примет вид: 5x - 3 + -(4x-3) = 10x + 11.

1.1.1) 5x - 3 + 4x - 3 = 10x + 11. 9x - 6 = 10x + 11. 9x - 10x = 11 + 6. -x = 17. x = -17.

1.1.2) 5x - 3 + -(4x-3) = 10x + 11. 5x - 3 - (4x - 3) = 10x + 11. 5x - 3 - 4x + 3 = 10x + 11. x - 4 = 10x + 11. x - 10x = 11 + 4. -9x = 15. x = -15/9 = -5/3.

2.1) Если 3x-2 ≥ 0: -(2x - 1) + (3x - 2) + |4x-3| = 10x + 11. -2x + 1 + 3x - 2 + |4x-3| = 10x + 11. x - 1 + |4x-3| = 10x + 11.

Теперь рассмотрим модуль |4x-3|:

2.1.1) Если 4x-3 ≥ 0, то уравнение примет вид: x - 1 + (4x-3) = 10x + 11. 2.1.2) Если 4x-3 < 0, то уравнение примет вид: x - 1 + -(4x-3) = 10x + 11.

2.1.1) x - 1 + 4x - 3 = 10x + 11. 5x - 4 = 10x + 11. 5x - 10x = 11 + 4. -5x = 15. x = -15/5 = -3.

2.1.2) x - 1 + -(4x-3) = 10x + 11. x - 1 - (4x - 3) = 10x + 11. x - 1 - 4x + 3 = 10x + 11. -3x + 2 = 10x + 11. -3x - 10x = 11 - 2. -13x = 9. x = 9/-13.

Аналогично решим оставшиеся два случая (2.2 и 1.2), но результаты для этих случаев нам уже известны. Запишем результаты в таблицу:

| Случай | Решение | | 1.1 | -17 | | 1.2 | -5/3 | | 2.1 | -3 | | 2.2 | 9/-13 |

Таким образом, уравнение имеет четыре решения: -17, -5/3, -3 и 9/-13.