Question

Вычислить: sin1/9П cos4/9П - cos1/9П sin4/9П

Answer 1

Для решения данной задачи воспользуемся формулами сложения и вычитания тригонометрических функций.

Сначала вычислим значение sin(1/9π):

sin(1/9π) = sin(π/9)

Для удобства дальнейших вычислений, заменим sin(π/9) на переменную x:

x = sin(π/9)

Применим формулу половинного угла:

sin(a/2) = √((1 - cos(a)) / 2), где a = π/9

Тогда:

x = sin(π/9) = √((1 - cos(π/9)) / 2)

Аналогичным образом, вычислим значение cos(1/9π):

cos(1/9π) = cos(π/9)

Заменим cos(π/9) на переменную y:

y = cos(π/9)

Используем формулу половинного угла для cos:

cos(a/2) = √((1 + cos(a)) / 2), где a = π/9

Тогда:

y = cos(π/9) = √((1 + cos(π/9)) / 2)

Теперь найдем значение cos(4/9π):

cos(4/9π) = cos(π - π/9) = -cos(π/9)

Заменим -cos(π/9) на -y:

-cos(π/9) = -y

И, наконец, вычислим значение sin(4/9π):

sin(4/9π) = sin(π - π/9) = sin(8/9π)

Найдем sin(8/9π) с помощью формулы суммы углов:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), где a = π/9, b = 7π/9

sin(8/9π) = sin(π/9 + 7π/9) = sin(π/9)cos(7π/9) + cos(π/9)sin(7π/9) = x*cos(7π/9) + y*sin(7π/9)

Теперь, когда мы вычислили значения x, y, -y и sin(8/9π), можем подставить их в исходное выражение:

sin(1/9π) + cos(4/9π) - cos(1/9π) + sin(4/9π) = x + (-y) - (-y) + (x*cos(7π/9) + y*sin(7π/9))

Упростим выражение:

= 2x + 2y*cos(7π/9)

Таким образом, конечное значение выражения равно 2x + 2y*cos(7π/9).