Question

|5x-3|-|7x-4|=2x-1 Подробнее решение пожалуйста!

Answer 1

Конечно, давайте решим уравнение \(|5x-3| - |7x-4| = 2x-1\).

1. Рассмотрим случай, когда \(5x-3 \geq 0\) и \(7x-4 \geq 0\). В этом случае у нас нет модулей, и уравнение упрощается: \[ (5x-3) - (7x-4) = 2x-1 \]

Раскроем скобки: \[ 5x - 3 - 7x + 4 = 2x - 1 \]

Упростим: \[ -2x + 1 = 2x - 1 \]

Переносим все члены с \(x\) в одну сторону: \[ 4x = 2 \]

Решаем для \(x\): \[ x = \frac{1}{2} \]

2. Теперь рассмотрим случай, когда \(5x-3 \geq 0\), но \(7x-4 < 0\). В этом случае модуль \((7x-4)\) становится \(-(7x-4)\): \[ (5x-3) + (7x-4) = 2x-1 \]

Раскрываем скобки и упрощаем: \[ 12x - 7 = 2x - 1 \]

Переносим все члены с \(x\) в одну сторону: \[ 10x = 6 \]

Решаем для \(x\): \[ x = \frac{3}{5} \]

3. Теперь рассмотрим случай, когда \(5x-3 < 0\) и \(7x-4 \geq 0\). Аналогично, модуль \((5x-3)\) становится \(-(5x-3)\): \[ -(5x-3) - (7x-4) = 2x-1 \]

Раскрываем скобки и упрощаем: \[ -12x + 7 = 2x - 1 \]

Переносим все члены с \(x\) в одну сторону: \[ 14x = 8 \]

Решаем для \(x\): \[ x = \frac{4}{7} \]

4. Наконец, рассмотрим случай, когда \(5x-3 < 0\) и \(7x-4 < 0\). В этом случае модули \((5x-3)\) и \((7x-4)\) становятся \(-(5x-3)\) и \(-(7x-4)\) соответственно: \[ -(5x-3) + (7x-4) = 2x-1 \]

Раскрываем скобки и упрощаем: \[ 2x - 1 = 2x - 1 \]

Уравнение верно при любых значениях \(x\), так как обе стороны равны друг другу.

Таким образом, у нас есть три решения: \(x = \frac{1}{2}\), \(x = \frac{3}{5}\), и \(x = \frac{4}{7}\), а также уравнение верно при любых значениях \(x\).