Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), касательной к этому графику в точке xо и прямой x=0. а) y=0,5x(в квадрате)+2 xо= - 2 б) y=x (в кубе) + 2 xо=1 фигура расположена в правой полуплоскости

Answer 1

a) В данном случае график функции y=f(x) ограничен прямыми x=0 и y=0.5x^2 + 2. Касательная к графику в точке xо будет иметь ту же наклонную, что и график в этой точке.

Площадь фигуры, ограниченной этим графиком, касательной и прямой x=0 можно вычислить с помощью определенного интеграла. Поскольку данная фигура расположена в правой полуплоскости, ограничение x должно быть от xо до нуля.

Запишем функцию f(x) как f(x) = 0.5x^2 + 2. Тогда площадь фигуры S будет равна:

S = ∫[xо,0] (0.5x^2 + 2)dx

Вычислим данный определенный интеграл:

S = [0.5/3 * x^3 + 2x] [xо,0]

S = (0.5/3 * 0^3 + 2*0) - (0.5/3 * xо^3 + 2*xо)

S = - (0.5/3 * xо^3 + 2*xо)

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), касательной и прямой x=0, равна -(0.5/3 * xо^3 + 2*xо).

b) В данном случае график функции y=f(x) ограничен прямыми x=0 и y=x^3 + 2. Касательная к графику в точке xо будет иметь ту же наклонную, что и график в этой точке.

Площадь фигуры, ограниченной этим графиком, касательной и прямой x=0 можно также вычислить с помощью определенного интеграла. Ограничение x должно быть от xо до нуля.

Запишем функцию f(x) как f(x) = x^3 + 2. Тогда площадь фигуры S будет равна:

S = ∫[xо,0] (x^3 + 2)dx

Вычислим данный определенный интеграл:

S = [1/4 * x^4 + 2x] [xо,0]

S = (1/4 * 0^4 + 2*0) - (1/4 * xо^4 + 2*xо)

S = - (1/4 * xо^4 + 2*xо)

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), касательной и прямой x=0, равна -(1/4 * xо^4 + 2*xо).