Question

Знайдіть похідну функції f(x)=tg^2x (тангенс квадрат x) у точці x0=pi/4 пожалуйста,очень нужно)

Answer 1

Звісно, я допоможу вам знайти похідну функції \(f(x) = \tan^2(x) + \tan(x)\) у точці \(x_0 = \frac{\pi}{4}\).

Спочатку знайдемо похідну кожного з компонентів функції:

1. \( \frac{d}{dx}(\tan^2(x)) \):

Використовуючи ланцюжкове правило, ми отримаємо:

\[ \frac{d}{dx}(\tan^2(x)) = 2\tan(x) \cdot \sec^2(x) \]

2. \( \frac{d}{dx}(\tan(x)) \):

Похідна тангенса \( \tan(x) \) є \( \sec^2(x) \).

Тепер складемо похідну функції \(f(x)\):

\[ f'(x) = 2\tan(x) \cdot \sec^2(x) + \sec^2(x) \]

Тепер, щоб знайти значення похідної у точці \(x_0 = \frac{\pi}{4}\), підставимо \(x_0\) у вираз для \(f'(x)\):

\[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) + \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Знаючи, що \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\) і \(\sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\), підставимо ці значення:

\[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot 1 \cdot (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 \]

\[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot 2 + 2 = 6 \]

Отже, похідна функції \(f(x)\) у точці \(x_0 = \frac{\pi}{4}\) дорівнює 6.