Question

гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из его катетов больше другого на 17 см. найдите катеты этого треугольника

Answer 1

Пусть один из катетов треугольника равен \(x\) см, а другой \(x + 17\) см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника гипотенуза равна квадратному корню из суммы квадратов катетов:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2},\]

где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.

В данном случае, гипотенуза \(c\) равна 25 см, а катеты \(a\) и \(b\) равны \(x\) и \(x + 17\) соответственно. Уравнение для данной ситуации будет следующим:

\[25 = \sqrt{x^2 + (x + 17)^2}.\]

Давайте решим это уравнение.

1. Возвести обе стороны уравнения в квадрат:

\[625 = x^2 + (x + 17)^2.\]

2. Раскрываем скобки:

\[625 = x^2 + x^2 + 34x + 289.\]

3. Сгруппируем члены:

\[2x^2 + 34x + 289 - 625 = 0.\]

4. Упростим уравнение:

\[2x^2 + 34x - 336 = 0.\]

5. Решим квадратное уравнение. Можно разделить обе стороны на 2 для упрощения:

\[x^2 + 17x - 168 = 0.\]

6. Разложим на множители или воспользуемся формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 289 + 672 = 961.\]

7. Теперь используем формулу для корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

\[x = \frac{-17 \pm \sqrt{961}}{2}.\]

\[x = \frac{-17 \pm 31}{2}.\]

8. Два возможных значения для \(x\):

\[x_1 = \frac{14}{2} = 7,\]

\[x_2 = \frac{-48}{2} = -24.\]

Отрицательное значение для \(x\) не имеет физического смысла в данном контексте, поэтому \(x = 7\).

Таким образом, один катет треугольника равен 7 см, а другой \(x + 17 = 7 + 17 = 24\) см.