Question

При каких значениях m неравенство mx^2+4x+m+3=<0 верно для любого x?

Answer 1

Давайте рассмотрим квадратное уравнение вида \(mx^2 + 4x + m + 3 \leq 0\).

Чтобы понять, при каких значениях параметра \(m\) это неравенство верно для любого \(x\), давайте воспользуемся методом дискриминанта. Дискриминант \(D\) для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В данном случае у нас \(a = m\), \(b = 4\), и \(c = m + 3\). Таким образом, дискриминант для уравнения \(mx^2 + 4x + m + 3\) будет:

\[D = 4^2 - 4 \cdot m \cdot (m + 3) = 16 - 4m^2 - 12m.\]

Теперь, чтобы неравенство было верным для любого \(x\), дискриминант должен быть неположительным (\(D \leq 0\)), так как в этом случае уравнение имеет решения в действительных числах.

Поэтому, у нас есть неравенство:

\[16 - 4m^2 - 12m \leq 0.\]

Упростим его:

\[4m^2 + 12m - 16 \geq 0.\]

Теперь можно решить это квадратное неравенство. Мы видим, что коэффициент при \(m^2\) положителен (4), поэтому у нас будет выпуклая парабола вверх. Неравенство будет выполнено для интервалов, где парабола находится ниже оси \(m\).

Мы можем решить уравнение \(4m^2 + 12m - 16 = 0\) и посмотреть, где парабола пересекает ось \(m\). Решения этого уравнения могут быть найдены с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D'\) для этого уравнения будет \(12^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-16) = 400\), и решения будут:

\[m_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{400}}{8}.\]

\[m_{1,2} = \frac{-12 \pm 20}{8}.\]

Это дает два корня: \(m_1 = -4\) и \(m_2 = \frac{1}{2}\).

Теперь у нас есть три интервала на оси \(m\): \((- \infty, -4)\), \((-4, \frac{1}{2})\), и \((\frac{1}{2}, +\infty)\). В каждом из этих интервалов неравенство \(4m^2 + 12m - 16 \geq 0\) будет выполнено, и следовательно, исходное неравенство \(mx^2 + 4x + m + 3 \leq 0\) будет верным для любого \(x\).