Question

Помогите пожалуйста ПОЭТАПНО решить алгебраическое уравнения (с объяснением (что откуда берётся))Нужно срочно понять принцип что бы решать такие уравнения. 6^3+11х^2-3х-2=0

Answer 1

Конечно, давайте разберемся с решением данного алгебраического уравнения. Ваше уравнение имеет вид:

\[6x^3 + 11x^2 - 3x - 2 = 0.\]

Для решения кубического уравнения, можно воспользоваться различными методами. Один из способов — использование рациональных корней и теоремы о рациональных корнях. Теорема гласит, что если у уравнения с целыми коэффициентами есть рациональный корень \(p/q\), то \(p\) делится на коэффициент перед старшей степенью уравнения, а \(q\) делится на коэффициент перед свободным членом. В данном уравнении это 2 и 6 соответственно.

Попробуем подставить различные значения для \(x\) и проверим, существуют ли рациональные корни. Начнем с делителей свободного члена (2) и делителей коэффициента при старшей степени (6).

Мы видим, что \(x = 1\) является корнем уравнения, так как:

\[6 \cdot 1^3 + 11 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 2 = 6 + 11 - 3 - 2 = 12 - 5 = 7.\]

Теперь, используя синтетическое деление (или деление с остатком), можно разделить уравнение на \((x - 1)\), чтобы получить квадратное уравнение:

\[(x - 1)(6x^2 + 17x + 2) = 0.\]

Теперь решим полученное квадратное уравнение \(6x^2 + 17x + 2 = 0\). Можно воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

Где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты уравнения. В данном случае \(a = 6\), \(b = 17\), и \(c = 2\).

\[x_{1,2} = \frac{-17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}.\]

Вычислим значения под корнем и упростим:

\[x_{1,2} = \frac{-17 \pm \sqrt{289 - 48}}{12} = \frac{-17 \pm \sqrt{241}}{12}.\]

Таким образом, уравнение имеет три корня: \(x = 1\), \(x = \frac{-17 + \sqrt{241}}{12}\), и \(x = \frac{-17 - \sqrt{241}}{12}\).

Это основные шаги решения кубического уравнения с помощью поиска рациональных корней и дальнейшего применения формулы для квадратного уравнения.