Question

7/(x^2+5x+6)-9/(x+3)+1< или = 0

Answer 1

Для решения неравенства с дробями, сначала нужно привести его к общему знаменателю и упростить выражение. Затем определить интервалы, на которых неравенство выполняется.

Итак, дано неравенство:

\[ \frac{7}{{x^2 + 5x + 6}} - \frac{9}{{x + 3}} + 1 \leq 0 \]

Шаг 1: Факторизация знаменателей дробей.

Дробь 1:

\[ \frac{7}{{x^2 + 5x + 6}} = \frac{7}{{(x + 2)(x + 3)}} \]

Дробь 2:

\[ \frac{9}{{x + 3}} \]

Шаг 2: Получение общего знаменателя.

Общий знаменатель - это произведение всех различных множителей, присутствующих в знаменателях дробей. В данном случае:

Общий знаменатель: \((x + 2)(x + 3)\).

Шаг 3: Приведение дробей к общему знаменателю.

\[ \frac{7}{{(x + 2)(x + 3)}} - \frac{9}{{x + 3}} + 1 \leq 0 \]

Умножаем первую дробь на \(\frac{{x + 3}}{{x + 3}}\) (это не изменяет значение дроби):

\[ \frac{{7(x + 3)}}{{(x + 2)(x + 3)}} - \frac{9}{{x + 3}} + 1 \leq 0 \]

\[ \frac{{7x + 21 - 9(x + 2)}}{{(x + 2)(x + 3)}} + 1 \leq 0 \]

\[ \frac{{7x + 21 - 9x - 18}}{{(x + 2)(x + 3)}} + 1 \leq 0 \]

\[ \frac{{-2x + 3}}{{(x + 2)(x + 3)}} + 1 \leq 0 \]

Шаг 4: Упрощение выражения.

\[ \frac{{-2x + 3 + (x + 2)(x + 3)}}{{(x + 2)(x + 3)}} \leq 0 \]

\[ \frac{{-2x + 3 + (x^2 + 5x + 6)}}{{(x + 2)(x + 3)}} \leq 0 \]

\[ \frac{{x^2 + 3x + 9}}{{(x + 2)(x + 3)}} \leq 0 \]

Шаг 5: Определение интервалов.

Теперь определим интервалы, на которых это выражение меньше или равно нулю.

Корни знаменателя:

\(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)

\(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)

Итак, интервалы между корнями разбивают область на три части: \((- \infty, -3)\), \((-3, -2)\), \((-2, +\infty)\).

Выберем точку внутри каждого интервала для определения знака выражения:

1. Для интервала \((- \infty, -3)\): Выберем \(x = -4\). Подставим в выражение:

\[ \frac{{(-2)^2 + 3(-2) + 9}}{{((-2) + 2)((-2) + 3)}} = \frac{{4 - 6 + 9}}{{0}} + 1 > 0 \]

2. Для интервала \((-3, -2)\): Выберем \(x = -2.5\). Подставим в выражение:

\[ \frac{{(-2.5)^2 + 3(-2.5) + 9}}{{((-2.5) + 2)((-2.5) + 3)}} = \frac{{6.25 - 7.5 + 9}}{{0.25}} + 1 < 0 \]

3. Для интервала \((-2, +\infty)\): Выберем \(x = 0\). Подставим в выражение:

\[ \frac{{0^2 + 3(0) + 9}}{{(0 + 2)(0 + 3)}} = \frac{9}{6} + 1 > 0 \]

Теперь соберем результаты:

\((- \infty, -3)\): Выражение положительно

\((-3, -2)\): Выражение отрицательно

\((-2, +\infty)\): Выражение положительно

Итак, решением данного неравенства является интервал \((-3, -2)\).