Question

двенадцатый член геометрической прогрессии равен 1536, четвертый член равен 6. Найдите сумму первых 11 членов этой прогрессии.

Answer 1

Для решения задачи, давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как \(a\) и знаменатель как \(q\). Тогда \(a\) - это первый член, \(aq\) - второй член, \(aq^2\) - третий член и так далее.

Из условия известно, что двенадцатый член геометрической прогрессии равен 1536:

\[ aq^{11} = 1536 \]

Также известно, что четвертый член равен 6:

\[ aq^3 = 6 \]

Теперь давайте поделим второе уравнение на первое:

\[ \frac{aq^3}{aq^{11}} = \frac{6}{1536} \]

Упрощаем дробь:

\[ \frac{q^3}{q^{11}} = \frac{1}{256} \]

Теперь используем свойство степени с одинаковым основанием:

\[ q^{3-11} = \frac{1}{256} \]

\[ q^{-8} = \frac{1}{256} \]

\[ q^8 = 256 \]

Теперь, когда мы знаем значение \(q^8\), можем найти \(a\) из второго уравнения:

\[ aq^3 = 6 \]

\[ a(256) = 6 \]

\[ a = \frac{6}{256} \]

\[ a = \frac{3}{128} \]

Теперь у нас есть значения \(a\) и \(q\), и мы можем использовать их для нахождения суммы первых 11 членов геометрической прогрессии. Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1} \]

Подставим значения:

\[ S_{11} = \frac{3}{128} \frac{256^{11} - 1}{256 - 1} \]

Теперь можно вычислить значение \(S_{11}\).