Question

Упростите выражение: cos(альфа+бета)+2sin альфа sin бета ,если альфа-бета= пи Заранее спасибо

Answer 1

Для упрощения данного выражения, воспользуемся формулами сложения и удвоения тригонометрических функций.

Используя формулу сложения для косинуса, имеем: cos(альфа + бета) = cos(альфа) * cos(бета) - sin(альфа) * sin(бета)

Также, используя формулу удвоения для синуса, получаем: 2sin(альфа) = 2 * sin(альфа) * cos(альфа)

Теперь можем упростить исходное выражение: cos(альфа + бета) + 2sin(альфа) + sin(бета) = (cos(альфа) * cos(бета) - sin(альфа) * sin(бета)) + 2 * sin(альфа) + sin(бета)

Поскольку дано, что альфа - бета = пи, можем заменить sin(бета) на sin(альфа - пи): (cos(альфа) * cos(бета) - sin(альфа) * sin(бета)) + 2 * sin(альфа) + sin(бета) = (cos(альфа) * cos(бета) - sin(альфа) * sin(альфа - пи)) + 2 * sin(альфа) + sin(альфа - пи)

Используя формулы разности для косинуса и синуса, получаем: (cos(альфа) * cos(бета) - sin(альфа) * (sin(альфа) * cos(пи) - cos(альфа) * sin(пи)))) + 2 * sin(альфа) + (sin(альфа) * cos(пи) - cos(альфа) * sin(пи))

Так как cos(пи) = -1 и sin(пи) = 0, можно упростить выражение: (cos(альфа) * cos(бета) + sin(альфа) * sin(альфа) + 2 * sin(альфа) + sin(альфа) * 0) + (-sin(альфа) * (-1) + cos(альфа) * 0)

Далее упрощаем: cos(альфа) * cos(бета) + sin^2(альфа) + 2 * sin(альфа) + sin(альфа) + sin(альфа) + 0 + sin(альфа) + 0

Теперь объединяем подобные слагаемые: cos(альфа) * cos(бета) + sin^2(альфа) + 4 * sin(альфа)

Таким образом, упрощенное выражение равно: cos(альфа) * cos(бета) + sin^2(альфа) + 4 * sin(альфа)