Question

Интеграл(корень 1+x)*dx

Answer 1

Чтобы решить задачу, нужно посчитать определенный интеграл от функции f(x) = √(1 + x).

Для начала, обратимся к формуле для интегрирования по частям:

∫u * dv = u * v - ∫v * du,

где u и v - функции, dv = f(x) * dx, du = dx.

Выберем u = √(1 + x), dv = dx. Тогда du = (1 / 2) * (1 + x)^(-1/2) * dx, v = x.

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

∫(√(1 + x) * dx) = x * √(1 + x) - ∫(x * (1 / 2) * (1 + x)^(-1/2) * dx).

Сокращаем уравнение:

∫(√(1 + x) * dx) = x * √(1 + x) - (1 / 2) * ∫((x / (1 + x)^1/2) * dx).

Осталось посчитать интеграл в правой части уравнения:

∫(x / (1 + x)^(1/2) * dx).

Для этого выбираем u = x, dv = (1 + x)^(-1/2) * dx, получаем du = dx, v = 2 * (1 + x)^(1/2).

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

∫(x / (1 + x)^(1/2) * dx) = 2 * x * (1 + x)^(1/2) - ∫(2 * (1 + x)^(1/2) * dx).

Упрощаем:

∫(x / (1 + x)^(1/2) * dx) = 2 * x * √(1 + x) - 2 * ∫(√(1 + x) * dx).

Теперь подставляем полученное значение интеграла в исходное уравнение:

∫(√(1 + x) * dx) = x * √(1 + x) - (1 / 2) * (2 * x * √(1 + x) - 2 * ∫(√(1 + x) * dx)).

Упрощаем:

∫(√(1 + x) * dx) = x * √(1 + x) - x * √(1 + x) + ∫(√(1 + x) * dx).

Таким образом, правая и левая части уравнения совпадают, а это значит, что интеграл ∫(√(1 + x) * dx) равен 0.