Question

Решите пожалуйста систему уравненийxy=-4x^2+y^2=8

Answer 1

Давайте решим систему уравнений xy = -4 и x^2 + y^2 = 8.

Для начала, давайте решим первое уравнение xy = -4 относительно одной из переменных. Мы можем выбрать x или y в качестве свободной переменной. Давайте выберем x.

Разделим оба выражения на x, чтобы получить y = -4/x.

Теперь подставим это значение y во второе уравнение x^2 + y^2 = 8.

Получим x^2 + (-4/x)^2 = 8.

Раскроем скобки и упростим выражение: x^2 + 16/x^2 = 8.

Умножим оба выражения на x^2, чтобы избавиться от дроби: x^4 + 16 = 8x^2.

Теперь перенесем все члены в одну сторону: x^4 - 8x^2 + 16 = 0.

Это квадратное уравнение относительно x^2. Давайте представим x^2 как переменную t и решим уравнение t^2 - 8t + 16 = 0.

Это уравнение можно факторизовать в (t - 4)^2 = 0.

Таким образом, t = 4.

Вернемся к исходной переменной x^2: x^2 = 4.

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: x = ±2.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, подставим найденные значения x в первое уравнение y = -4/x.

Когда x = 2, получаем y = -4/2 = -2.

Когда x = -2, получаем y = -4/(-2) = 2.

Таким образом, система уравнений xy = -4 и x^2 + y^2 = 8 имеет два решения: (x, y) = (2, -2) и (x, y) = (-2, 2).

Проверим эти значения, подставив их обратно в исходные уравнения:

Для (x, y) = (2, -2): 2*(-2) = -4 (верно) и 2^2 + (-2)^2 = 8 (верно).

Для (x, y) = (-2, 2): -2*2 = -4 (верно) и (-2)^2 + 2^2 = 8 (верно).

Таким образом, наши решения верны.