Question

Решите уравнение x^3+11x^2+11x+1=0

Answer 1

Чтобы решить данное кубическое уравнение x^3 + 11x^2 + 11x + 1 = 0, можно воспользоваться различными методами, такими как метод Кардано или метод графического представления. В данном случае, мы воспользуемся методом Кардано.

Метод Кардано основан на замене переменной, чтобы привести кубическое уравнение к квадратному. Давайте посмотрим на каждый шаг подробнее:

Шаг 1: Поиск рационального корня

Сначала мы ищем рациональный корень уравнения. Для этого мы используем рациональный корень теоремы о коэффициентах и проверяем все возможные делители свободного члена (1) и старшего коэффициента (1). В данном случае, мы видим, что x = -1 является рациональным корнем уравнения.

Шаг 2: Деление на (x + 1)

После нахождения рационального корня, мы делим исходное уравнение на (x + 1). Это можно сделать с помощью синтетического деления или деления полиномов. Результатом будет квадратное уравнение:

(x + 1)(x^2 + 10x + 1) = 0

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь мы имеем квадратное уравнение x^2 + 10x + 1 = 0. Мы можем решить его с помощью стандартных методов решения квадратных уравнений, таких как формула дискриминанта или завершение квадрата. Получим два решения:

x = (-10 + √96) / 2 = (-10 + 4√6) / 2 = -5 + 2√6 и x = (-10 - √96) / 2 = (-10 - 4√6) / 2 = -5 - 2√6

Итоговый ответ:

Таким образом, уравнение x^3 + 11x^2 + 11x + 1 = 0 имеет три корня: x = -1, x = -5 + 2√6 и x = -5 - 2√6.