Question

Срочно!!! Помогите!!!!cos2 t + tg2t * cos2t

Answer 1

Давайте разберем ваш математический запрос:

\( \cos^2(t) + \tan^2(t) \cdot \cos(2t) \)

Для упрощения выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Тождество \( \tan^2(t) + 1 = \sec^2(t) \): Это тождество говорит нам, что тангенс угла в квадрате плюс единица равны секансу угла в квадрате. Мы можем переписать \(\tan^2(t)\) как \(\sec^2(t) - 1\).

Таким образом, у нас получается:

\[ \cos^2(t) + (\sec^2(t) - 1) \cdot \cos(2t) \]

2. Тождество \( \sec^2(t) = \frac{1}{\cos^2(t)} \): Секанс угла в квадрате равен обратному квадрату косинуса угла. Мы можем заменить \(\sec^2(t)\) на \(\frac{1}{\cos^2(t)}\):

\[ \cos^2(t) + \left(\frac{1}{\cos^2(t)} - 1\right) \cdot \cos(2t) \]

3. Умножение на \(\cos^2(t)\) для очистки дробей:

Умножим обе стороны на \(\cos^2(t)\), чтобы избавиться от дробей:

\[ \cos^4(t) + (1 - \cos^2(t)) \cdot \cos(2t) \]

4. Тождество \( \cos^2(t) = 1 - \sin^2(t) \): Заменим \(\cos^2(t)\) на \(1 - \sin^2(t)\):

\[ (1 - \sin^2(t))^2 + (1 - (1 - \sin^2(t))) \cdot \cos(2t) \]

5. Раскрытие скобок и сокращение членов:

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ 1 - 2\sin^2(t) + \sin^4(t) + \sin^2(t) \cdot \cos(2t) \]

6. Тригонометрическое тождество \( \cos(2t) = 1 - 2\sin^2(t) \): Заменим \(\cos(2t)\) на соответствующее тождество:

\[ 1 - 2\sin^2(t) + \sin^4(t) + \sin^2(t) \cdot (1 - 2\sin^2(t)) \]

7. Умножение и упрощение:

Умножим \(\sin^2(t)\) на \((1 - 2\sin^2(t))\) и упростим:

\[ 1 - 2\sin^2(t) + \sin^4(t) + \sin^2(t) - 2\sin^4(t) \]

8. Сложение подобных членов:

Сложим подобные члены:

\[ -\sin^4(t) - \sin^2(t) + 1 \]

Таким образом, \(\cos^2(t) + \tan^2(t) \cdot \cos(2t) = -\sin^4(t) - \sin^2(t) + 1\).