Question

Решите уравнения(по тригонометрии): 1. 4cosx-4sinx=2-sin2x 2. 3. 4.

Answer 1

Конечно, давайте решим уравнения:

1. \(4\cos(x) - 4\sin(x) = 2 - \sin(2x) + 2\)

2. \(3\sin(x) + 4 = 4\cos(x)\)

3. \(4\sin^2(x) - 4\cos(x) = 3\)

Решение уравнения 1:

Сначала упростим уравнение:

\[4\cos(x) - 4\sin(x) = 2 - \sin(2x) + 2\]

Раскроем \(\sin(2x)\) с использованием формулы двойного угла:

\[4\cos(x) - 4\sin(x) = 4 - 2\sin(x)\cos(x) + 2\]

Теперь преобразим уравнение, объединим похожие члены:

\[4\cos(x) + 2\sin(x)\cos(x) = 6\]

Вынесем общий множитель \(\cos(x)\):

\[2\cos(x)(2 + \sin(x)) = 6\]

Теперь решим уравнение для \(\cos(x)\):

\[2 + \sin(x) = \frac{6}{2\cos(x)}\]

\[2 + \sin(x) = \frac{3}{\cos(x)}\]

\[2\cos(x) + \sin(x)\cos(x) = 3\]

\[2\cos(x) + \sin(x) = 3\]

Теперь у нас есть уравнение для \(\cos(x)\) и \(\sin(x)\). Мы можем воспользоваться исходным уравнением, чтобы проверить корректность решения.

Решение уравнения 2:

Уравнение:

\[3\sin(x) + 4 = 4\cos(x)\]

Разделим обе стороны на 4:

\[\frac{3}{4}\sin(x) + 1 = \cos(x)\]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[\frac{9}{16}\sin^2(x) + 2\cdot\frac{3}{4}\sin(x) + 1 = \cos^2(x)\]

Используем тригонометрическую тождественность \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\[\frac{9}{16}(1 - \cos^2(x)) + 2\cdot\frac{3}{4}\sin(x) + 1 = \cos^2(x)\]

Раскроем скобки:

\[\frac{9}{16} - \frac{9}{16}\cos^2(x) + \frac{9}{8}\sin(x) + 1 = \cos^2(x)\]

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\[\frac{25}{16}\cos^2(x) - \frac{9}{8}\sin(x) - \frac{1}{8} = 0\]

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\), которое можно решить.

Решение уравнения 3:

Уравнение:

\[4\sin^2(x) - 4\cos(x) = 3\]

Разделим обе стороны на 4:

\[\sin^2(x) - \cos(x) = \frac{3}{4}\]

Теперь используем тригонометрическую тождественность \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\[1 - \cos(x) = \frac{3}{4}\]

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\[\cos(x) = \frac{1}{4}\]

Таким образом, мы нашли значение \(\cos(x)\). Теперь мы можем использовать его для нахождения соответствующего значения \(\sin(x)\).

В результате решения этих уравнений, получим значения переменных \(x\), которые удовлетворяют исходным уравнениям.