Question

Решите уравнение в целых числах 5x-12y=8

Answer 1

Данное уравнение является линейным диофантовым уравнением, которое требует нахождения целочисленных решений. Для решения этого уравнения можно использовать методы элементарной алгебры и теории чисел.

Для начала, приведем уравнение к стандартному виду ax + by = c, где a = 5, b = -12 и c = 8.

Нахождение общего решения

Сначала, найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел a и b. В данном случае, НОД(5, -12) = 1.

Далее, воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида, чтобы найти целочисленные коэффициенты x0 и y0, удовлетворяющие условию ax0 + by0 = НОД(a, b). В данном случае, мы получим x0 = 5 и y0 = 2.

Теперь, умножим обе части уравнения на число c / НОД(a, b). В данном случае, это будет 8 / 1 = 8.

Получим новое уравнение 5 * 8 * x0 - 12 * 8 * y0 = 8 * 8, что приводится к 40 * x0 - 96 * y0 = 64.

Поиск частного решения

Теперь, нам нужно найти частное решение данного уравнения. Здесь мы можем выбрать любое целочисленное значение для одной переменной и вычислить соответствующее значение для другой переменной.

Для примера, давайте положим x0 = 2. Подставим это значение в уравнение и решим его относительно y0:

40 * 2 - 96 * y0 = 64 80 - 96 * y0 = 64 -96 * y0 = -16 y0 = -16 / -96 y0 = 1/6

Таким образом, получаем частное решение уравнения: x = 2, y = 1/6.

Нахождение всех целочисленных решений

Теперь, чтобы найти все целочисленные решения данного уравнения, мы можем использовать полученное частное решение и добавить к нему кратное НОД(a, b).

В нашем случае, НОД(5, -12) = 1, поэтому мы можем прибавить и вычитать единицу к x и y для получения дополнительных решений.

Таким образом, получаем следующие целочисленные решения уравнения 5x - 12y = 8:

x = 2 + 12n, y = 1/6 - 5n, где n - любое целое число.

Например, при n = 0 получаем x = 2, y = 1/6, при n = 1 получаем x = 14, y = -29/6, при n = -1 получаем x = -10, y = 31/6 и так далее.

Таким образом, уравнение 5x - 12y = 8 имеет бесконечное количество целочисленных решений, которые можно получить путем добавления и вычитания кратного НОД(a, b) от частного решения.