Question

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба кривых:y=x^3+3x^2

Answer 1

Для того чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба кривой, нужно проанализировать её вторую производную.

Данная кривая задана уравнением y = x^3 + 3x^2. Давайте найдем её первую и вторую производные.

Нахождение первой производной:

y' = d/dx (x^3 + 3x^2)

Для нахождения первой производной, мы просто дифференцируем каждый член уравнения по отдельности. При дифференцировании степенной функции, мы умножаем показатель степени на коэффициент перед ней и уменьшаем показатель степени на единицу.

y' = 3x^2 + 6x

Нахождение второй производной:

y'' = d/dx (3x^2 + 6x)

Аналогично, для нахождения второй производной, мы дифференцируем каждый член первой производной по отдельности.

y'' = 6x + 6

Промежутки выпуклости и точки перегиба:

Для определения промежутков выпуклости и точек перегиба, нужно проанализировать знак второй производной на разных интервалах.

1. Промежутки выпуклости: Выпуклость кривой определяется знаком второй производной. Если вторая производная положительна, то кривая выпукла вверх, если она отрицательна, то кривая выпукла вниз.

Решим неравенство y'' > 0, чтобы найти промежутки, где кривая выпукла вверх:

6x + 6 > 0

Вычитаем 6 из обеих частей неравенства:

6x > -6

Делим обе части на 6:

x > -1

Таким образом, кривая выпукла вверх на интервале x > -1.

2. Точки перегиба: Точки перегиба находятся в местах, где вторая производная меняет знак. Для этого нужно найти решения уравнения y'' = 0.

6x + 6 = 0

Вычитаем 6 из обеих частей уравнения:

6x = -6

Делим обе части на 6:

x = -1

Таким образом, точка перегиба находится при x = -1.

Вывод:

Итак, у нас есть следующие результаты: - Кривая y = x^3 + 3x^2 выпукла вверх на интервале x > -1. - Точка перегиба находится при x = -1.

Пожалуйста, обратите внимание, что я предоставил подробное объяснение и вычисления для данной кривой. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или если вам нужно решить другую задачу, пожалуйста, дайте мне знать!