Question

Помогите решить неравенство!! х² (x+3) ≥ 2x²

Answer 1

Давайте решим это неравенство по порядку. У нас есть неравенство:

х² + (x + 3) ≥ 2x²

Для начала, приведем подобные члены на одну сторону неравенства:

х² - 2x² + x + 3 ≥ 0

Теперь объединим похожие члены:

-x² + x + 3 ≥ 0

Далее, попытаемся разложить это квадратное уравнение на множители или воспользуемся квадратным трехчленом. Однако, в данном случае это сложно сделать, поэтому воспользуемся графическим методом или методом интервалов.

Графический метод

Мы можем построить график функции f(x) = -x² + x + 3 и найти интервалы, где функция положительна или неположительна.

Для построения графика, найдем вершину параболы. Формула для координат вершины параболы имеет вид x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты квадратного трехчлена.

В данном случае, a = -1, b = 1, поэтому x = -1 / (2 * (-1)) = -1/(-2) = 1/2.

Затем, найдем значение функции в этой точке. Подставим x = 1/2 в исходное уравнение:

f(1/2) = -(1/2)² + (1/2) + 3 = -1/4 + 1/2 + 3 = 7/4

Теперь мы можем построить график функции f(x) = -x² + x + 3 и найти интервалы, где функция положительна или неположительна.

График будет выглядеть следующим образом:

     |
     |
  7/4|    /
     |   /
     |  /
     | /   
     |/    
-----+-----
     |

На графике видно, что функция f(x) = -x² + x + 3 положительна в интервалах (-∞, 1/2) и (7/4, +∞), и неположительна в интервале [1/2, 7/4].

Метод интервалов

Для метода интервалов, мы будем проверять значения функции в нескольких точках внутри и между интервалами.

Обозначим интервалы, где функция f(x) = -x² + x + 3 положительна как P, и интервалы, где функция неположительна как N.

Проверим значения функции в следующих точках:

- Возьмем x = 0: f(0) = -(0)² + (0) + 3 = 3. Значит, P1: f(x) > 0 при x = 0. - Возьмем x = 1: f(1) = -(1)² + (1) + 3 = 3. Значит, P2: f(x) > 0 при x = 1. - Возьмем x = 2: f(2) = -(2)² + (2) + 3 = -1. Значит, N1: f(x) ≤ 0 при x = 2.

Теперь мы можем записать интервалы, где функция положительна и неположительна:

P: (-∞, 0) ∪ (1, +∞) N: [0, 1]

Ответ

Итак, решение исходного неравенства х² + (x + 3) ≥ 2x² является интервалом, где функция f(x) = -x² + x + 3 положительна или равна нулю:

х ∈ (-∞, 0) ∪ (1, +∞)