Question

Решите уравнение. 1/cos^2 х +3 tgx - 5 =0

Answer 1

Давайте решим уравнение:

\[ \frac{1}{\cos^2 x} + 3 \tan x - 5 = 0 \]

Для удобства решения давайте заменим \(\tan x\) на \(\frac{\sin x}{\cos x}\):

\[ \frac{1}{\cos^2 x} + 3 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} - 5 = 0 \]

Умножим обе стороны уравнения на \(\cos^2 x\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 1 + 3 \sin x \cos x - 5 \cos^2 x = 0 \]

Теперь перепишем уравнение в квадратичной форме, сделав замену \(u = \cos x\):

\[ -5u^2 + 3u + 1 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой для нахождения корней:

\[ u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном уравнении \(a = -5\), \(b = 3\), и \(c = 1\). Подставим значения:

\[ u = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-5)(1)}}{2(-5)} \]

\[ u = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 20}}{-10} \]

\[ u = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{-10} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(u\):

\[ u_1 = \frac{-3 + \sqrt{29}}{-10} \] \[ u_2 = \frac{-3 - \sqrt{29}}{-10} \]

Теперь мы можем найти значения \(\cos x\) по формуле \(u = \cos x\):

\[ \cos x_1 = \frac{-3 + \sqrt{29}}{-10} \] \[ \cos x_2 = \frac{-3 - \sqrt{29}}{-10} \]

Таким образом, уравнение имеет два набора решений для \(\cos x\). Теперь нужно учесть, что \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\). Поскольку \(\sin x\) и \(\cos x\) имеют одинаковый знак, решения для \(\tan x\) будут теми же, что и для \(\cos x\).

Таким образом, решения уравнения: \[ x_1 = \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{29}}{-10}\right) \] \[ x_2 = \arccos\left(\frac{-3 - \sqrt{29}}{-10}\right) \]

Это решения уравнения \(\frac{1}{\cos^2 x} + 3 \tan x - 5 = 0\).