Question

Решите неравенство (x+3)(x-11)> или = 0                                         -x в квадрате + 3 седьмых х <0                                            6 х в квадрате - 7 х +3>0

Answer 1

Для решения неравенства \((x+3)(x-11) > -x^{2} + \frac{3}{7}x < 6x^{2} - 7x + 3 > 0\), давайте разберемся с каждым из выражений по отдельности.

1. \((x+3)(x-11) > 0\)

Нам нужно найти интервалы, где это неравенство выполняется. Для этого рассмотрим знаки множителей.

- Если \(x+3 > 0\) и \(x-11 > 0\), то оба множителя положительны. Это выполняется для \(x > -3\) и \(x > 11\), что означает, что неравенство выполняется при \(x > 11\).

- Если \(x+3 < 0\) и \(x-11 < 0\), то оба множителя отрицательны. Это выполняется для \(-3 < x < 11\), что означает, что неравенство выполняется при \(-3 < x < 11\).

Таким образом, решение этой части неравенства: \(x \in (-\infty, -3) \cup (11, +\infty)\).

2. \(-x^{2} + \frac{3}{7}x < 0\)

Факторизуем квадратное уравнение: \(-x^{2} + \frac{3}{7}x = -\frac{1}{7}x(7x - 3)\).

Так как у нас есть произведение двух множителей, и результат отрицательный, то один из множителей должен быть положительным, а другой отрицательным.

- Если \(7x - 3 > 0\), то \(x > \frac{3}{7}\). - Если \(-\frac{1}{7}x > 0\), то \(x < 0\).

Таким образом, решение этой части неравенства: \(x \in (0, \frac{3}{7})\).

3. \(6x^{2} - 7x + 3 > 0\)

Это квадратное уравнение может быть решено с использованием дискриминанта.

Дискриминант \(D = b^{2} - 4ac = 49 - 4(6)(3) = 49 - 72 = -23\).

Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, и знак коэффициента при \(x^{2}\) положителен. Значит, уравнение положительно для всех значений \(x\).

Теперь объединим результаты:

\[x \in \left( (-\infty, -3) \cup (11, +\infty) \right) \cap (0, \frac{3}{7}) = (0, \frac{3}{7})\].

Итак, решение неравенства: \(x \in (0, \frac{3}{7})\).