Question

Сумма первого и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 2,а сумма их квадратов равна 20. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии. Можно пожалуйста с объяснениями.

Answer 1

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a \), а разность прогрессии как \( d \). Тогда четвертый член будет равен \( a + 3d \), поскольку он находится на три шага вперед от первого члена.

Условие задачи утверждает, что сумма первого и четвертого членов прогрессии равна 2:

\[ a + (a + 3d) = 2 \]

Сумма квадратов первого и четвертого членов равна 20:

\[ a^2 + (a + 3d)^2 = 20 \]

Теперь решим эту систему уравнений. Раскроем квадрат во втором уравнении:

\[ a^2 + a^2 + 6ad + 9d^2 = 20 \]

\[ 2a^2 + 6ad + 9d^2 - 20 = 0 \]

Теперь мы имеем систему уравнений:

\[ a + (a + 3d) = 2 \] \[ 2a^2 + 6ad + 9d^2 - 20 = 0 \]

Сначала решим первое уравнение относительно \( a \):

\[ 2a + 3d = 2 \]

\[ a = \frac{2 - 3d}{2} \]

Теперь подставим это значение \( a \) во второе уравнение:

\[ 2\left(\frac{2 - 3d}{2}\right)^2 + 6d\left(\frac{2 - 3d}{2}\right) + 9d^2 - 20 = 0 \]

\[ (2 - 3d)^2 + 6d(2 - 3d) + 9d^2 - 20 = 0 \]

\[ 4 - 12d + 9d^2 + 12d - 18d^2 + 9d^2 - 20 = 0 \]

\[ 18d^2 - 20 = 0 \]

\[ 9d^2 - 10 = 0 \]

\[ 9d^2 = 10 \]

\[ d^2 = \frac{10}{9} \]

\[ d = \pm \sqrt{\frac{10}{9}} \]

Теперь, когда у нас есть значение \( d \), мы можем найти значение \( a \):

\[ a = \frac{2 - 3d}{2} \]

Подставим \( d \) и решим для \( a \).

\[ a = \frac{2 - 3 \cdot \sqrt{\frac{10}{9}}}{2} \] или \( a = \frac{2 + 3 \cdot \sqrt{\frac{10}{9}}}{2} \)

Теперь, когда у нас есть значения \( a \) и \( d \), мы можем найти сумму первых восьми членов прогрессии. Сумма первых восьми членов арифметической прогрессии задается формулой:

\[ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \]

где \( n \) - количество членов прогрессии. В данном случае \( n = 8 \). Подставим значения \( a \), \( d \) и \( n \) в формулу:

\[ S_8 = \frac{8}{2}[2a + (8-1)d] \]

\[ S_8 = 4[2a + 7d] \]

Теперь, подставив значения \( a \) и \( d \), мы можем вычислить сумму.