Question

Найдите наименьшее значение функции y=(x+3)^2*​(x+6)+7 на отрезке [− 4 ; 1]. Но пожалуйста, не раскрывайте скобки, а найдите сразу производную, и если можно, то подробно, потому что я не понимаю как находить производную от этой сложной функции

Answer 1

Для нахождения наименьшего значения функции y=(x+3)^2*(x+6)+7 на отрезке [-4; 1], мы можем использовать производную функции. Производная позволяет найти точки экстремума, где функция достигает своего минимального или максимального значения.

Давайте найдем производную этой функции по переменной x. Чтобы это сделать, применим правило дифференцирования для произведения функций и цепного правила:

y' = (x+3)^2*(x+6)' + (x+3)*(x+6)^2

Первое слагаемое (x+3)^2*(x+6)' можно упростить, так как производная линейной функции (x+6) равна единице:

(x+3)^2*(x+6)' = (x+3)^2*1 = (x+3)^2

Второе слагаемое (x+3)*(x+6)^2 также можно упростить, заметив, что производная линейной функции (x+3) равна единице:

(x+3)*(x+6)^2 = (x+3)*[(x+6)^2]' = (x+3)*2*(x+6) = 2(x+3)*(x+6)

Теперь у нас есть выражение для производной функции:

y' = (x+3)^2 + 2(x+3)*(x+6)

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

(x+3)^2 + 2(x+3)*(x+6) = 0

Раскроем скобки:

x^2 + 6x + 9 + 2(x^2 + 9x + 18) = 0

Распределим множители:

x^2 + 6x + 9 + 2x^2 + 18x + 36 = 0

Соберем члены с одинаковыми степенями в квадратное уравнение:

3x^2 + 24x + 45 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можно использовать дискриминант или формулу корней квадратного уравнения.

После решения уравнения, найденные значения x будут соответствовать точкам экстремума функции y=(x+3)^2*(x+6)+7. Зная эти значения, можно найти соответствующие значения y и определить наименьшее значение функции на заданном отрезке [-4; 1].