Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА решить уравнение: (x²-1)²+(x²-6x-7)²=0

Answer 1

Давайте решим это уравнение по частям. Уравнение, которое вам дано, имеет вид:

(x²-1)² + (x²-6x-7)² = 0

Давайте разложим каждое слагаемое на левой стороне уравнения и затем приведем его к квадратичному виду.

Разложение первого слагаемого:

(x²-1)² = (x²-1)(x²-1) = x⁴ - 2x² + 1

Разложение второго слагаемого:

(x²-6x-7)² = (x²-6x-7)(x²-6x-7)

Здесь мы можем воспользоваться методом "группировки" для упрощения этого слагаемого. Давайте разложим его:

(x²-6x-7)² = (x²-7x+x-7)(x²-7x+x-7) = ((x²-7x) + (x-7))((x²-7x) + (x-7))

= (x(x-7) + 1(x-7))(x(x-7) + 1(x-7)) = (x+1)(x-7)(x+1)(x-7) = (x+1)²(x-7)²

Теперь мы можем переписать уравнение в квадратичной форме:

(x⁴ - 2x² + 1) + (x+1)²(x-7)² = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение вида:

x⁴ - 2x² + 1 + (x+1)²(x-7)² = 0

Для решения этого уравнения давайте введем замену:

y = x²

Тогда наше уравнение примет вид:

y² - 2y + 1 + (y+1)²(y-7)² = 0

y² - 2y + 1 + (y² + 2y + 1)(y-7)² = 0

y² - 2y + 1 + (y² + 2y + 1)(y² - 14y + 49) = 0

y² - 2y + 1 + y⁴ - 14y³ + 49y² + 2y⁴ - 28y³ + 98y² + y² - 14y + 49 = 0

3y⁴ - 42y³ + 150y² - 12y + 50 = 0

Теперь у нас есть уравнение четвертой степени, которое мы можем решить