Question

Найдите расстояние от центра окружности (x-2)²+(y+1)²=3 до точки пересечения прямой 11x+3y=9 с осью координат.

Answer 1

Чтобы найти расстояние от центра окружности до прямой с использованием осей координат, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем центр окружности: Уравнение окружности дано в виде: \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус.

В данном случае уравнение окружности \((x-2)^2 + (y+1)^2 = 3\), следовательно, центр окружности \((h, k) = (2, -1)\), а радиус \(r = \sqrt{3}\).

2. Найдем точку пересечения прямой с осями координат: Уравнение прямой дано в виде \(11x + 3y = 9\). Чтобы найти точку пересечения с осью координат, можно подставить \(x = 0\) и \(y = 0\).

- При \(x = 0\): \(3y = 9 \implies y = 3\), следовательно, точка \(A(0, 3)\). - При \(y = 0\): \(11x = 9 \implies x = \frac{9}{11}\), следовательно, точка \(B\left(\frac{9}{11}, 0\right)\).

3. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки \(A\) и \(B\): Используем формулу наклона прямой \(k\) и подставим одну из точек в уравнение прямой \(y - y_1 = k(x - x_1)\).

Наклон прямой \(k\) выражается как \(k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\). Подставим значения точек \(A\) и \(B\) для нахождения \(k\).

\[k = \frac{3 - 0}{0 - \frac{9}{11}} = -\frac{33}{11}.\]

Теперь, используя точку \(A(0, 3)\), уравнение прямой будет \(y - 3 = -\frac{33}{11}(x - 0)\) или упрощенно \(y = -\frac{33}{11}x + 3\).

4. Найдем точку пересечения прямой с окружностью: Подставим уравнение прямой в уравнение окружности и решим полученное квадратное уравнение для нахождения точек пересечения.

\[(x - 2)^2 + \left(-\frac{33}{11}x + 3 + 1\right)^2 = 3.\]

Решение этого уравнения даст две точки пересечения \(C\) и \(D\).

5. Найдем расстояние между центром окружности и точкой пересечения прямой с окружностью: Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) выражается формулой \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

Расстояние между центром окружности \((2, -1)\) и найденной точкой пересечения \(C\) или \(D\) даст искомый результат.

Расстояние = \(\sqrt{(x_C - 2)^2 + (y_C + 1)^2}\) или \(\sqrt{(x_D - 2)^2 + (y_D + 1)^2}\).

Эти шаги помогут вам найти расстояние от центра окружности до точки пересечения прямой с осью координат.