Question

Знайдіть точку максимуму функції F(x) = -6x^2 + x^3

Answer 1

Щоб знайти точку максимуму функції F(x) = -6x^2 + x^3, ми можемо скористатися теорією похідних. Точка максимуму відповідає місцю, де похідна функції стає рівною нулю і змінює знак з позитивного на негативний.

Обчислення похідної функції:

Для обчислення похідної функції, спочатку знайдемо похідну кожного доданку окремо, а потім їх зіслідуємо разом. Давайте обчислимо похідні:

F'(x) = d/dx (-6x^2 + x^3) = -6 * d/dx (x^2) + d/dx (x^3) = -6 * 2x + 3x^2 = -12x + 3x^2

Знайдімо точки, де похідна стає рівною нулю:

Щоб знайти точки, де похідна стає рівною нулю, ми розв'яжемо рівняння -12x + 3x^2 = 0:

0 = -12x + 3x^2

Розв'язання рівняння:

Для розв'язання рівняння, ми можемо факторизувати його або застосувати квадратне рівняння. Давайте скористаємося факторизацією:

0 = x(-12 + 3x)

Тут ми маємо два множники, x і (-12 + 3x), які, якщо один з них стає рівним нулю, то рівняння стає рівноцінним нульовому рівнянню. Тому ми маємо два можливі випадки:

1. x = 0 2. -12 + 3x = 0

Давайте знайдемо значення x для кожного випадку:

1. x = 0 Це одна з можливих точок максимуму функції.

2. -12 + 3x = 0 3x = 12 x = 4

Це друга можлива точка максимуму функції.

Знаходження значення функції в точках максимуму:

Щоб знайти значення функції F(x) в точках максимуму, підставимо значення x = 0 та x = 4 в оригінальну функцію:

F(0) = -6(0)^2 + (0)^3 = 0 F(4) = -6(4)^2 + (4)^3 = -96 + 64 = -32

Таким чином, точки максимуму функції F(x) = -6x^2 + x^3 є (0, 0) та (4, -32).