Question

Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Лодка прошла по течению реки 36 км и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов.

Answer 1

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для вычисления скорости, которая выражается как:

\[ \text{Скорость} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Время}} \]

Пусть \( V \) - скорость лодки в неподвижной воде, \( V_{\text{теч}} \) - скорость течения реки, \( t_1 \) - время движения вниз по течению, \( t_2 \) - время движения вверх против течения, \( S \) - расстояние, равное 36 км.

Тогда мы можем записать уравнение движения лодки вниз по течению и обратно:

\[ S = (V + V_{\text{теч}}) \cdot t_1 \] \[ S = (V - V_{\text{теч}}) \cdot t_2 \]

Мы также знаем, что сумма времени вниз и времени вверх равна общему времени:

\[ t_1 + t_2 = 5 \]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Для начала избавимся от \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ t_1 = \frac{S}{V + V_{\text{теч}}} \] \[ t_2 = \frac{S}{V - V_{\text{теч}}} \]

Теперь подставим их в уравнение для общего времени:

\[ \frac{S}{V + V_{\text{теч}}} + \frac{S}{V - V_{\text{теч}}} = 5 \]

Умножим обе стороны на \((V + V_{\text{теч}})(V - V_{\text{теч}})\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ S(V - V_{\text{теч}}) + S(V + V_{\text{теч}}) = 5(V + V_{\text{теч}})(V - V_{\text{теч}}) \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ SV - SV_{\text{теч}} + SV + SV_{\text{теч}} = 5(V^2 - V_{\text{теч}}^2) \]

\[ 2SV = 5V^2 - 5V_{\text{теч}}^2 \]

\[ 5V^2 - 2SV - 5V_{\text{теч}}^2 = 0 \]

Теперь это уравнение квадратное относительно \( V \). Решим его с использованием квадратного уравнения:

\[ V = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 5 \), \( b = -2S \), \( c = -5V_{\text{теч}}^2 \).

\[ V = \frac{2S \pm \sqrt{4S^2 + 100V_{\text{теч}}^2}}{10} \]

Теперь подставим значения и решим:

\[ V = \frac{2 \times 36 \pm \sqrt{4 \times 36^2 + 100 \times 3^2}}{10} \]

\[ V = \frac{72 \pm \sqrt{5184 + 900}}{10} \]

\[ V = \frac{72 \pm \sqrt{6084}}{10} \]

\[ V = \frac{72 \pm 78}{10} \]

Таким образом, у нас два решения:

\[ V_1 = \frac{72 + 78}{10} = \frac{150}{10} = 15 \, \text{км/ч} \]

\[ V_2 = \frac{72 - 78}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6 \, \text{км/ч} \]

Так как скорость не может быть отрицательной, то мы отбрасываем \( V_2 \). Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде составляет 15 км/ч.