Question

написать формулу общего члена последовательности, заданной рекуррентной формулой (хn) и указать ее первые 4 члена : х1=3 , хn=2хn n больше или равно 1,

Answer 1

Для нахождения формулы общего члена последовательности, заданной рекуррентной формулой, нужно решить характеристическое уравнение, связанное с этой формулой. Характеристическое уравнение имеет вид:

$$x^2 - 2x - n = 0$$

Его корни можно найти по формуле:

$$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4n}}{2}$$

Общий член последовательности выражается через корни характеристического уравнения следующим образом:

$$a_n = C_1 x_1^n + C_2 x_2^n$$

где $C_1$ и $C_2$ - произвольные константы, которые можно найти из начальных условий. В данном случае, $a_1 = 3$, поэтому:

$$3 = C_1 x_1 + C_2 x_2$$

Подставляя значения $x_1$ и $x_2$, получаем:

$$3 = C_1 \frac{1 + \sqrt{1 + n}}{2} + C_2 \frac{1 - \sqrt{1 + n}}{2}$$

Это уравнение имеет бесконечно много решений в зависимости от значения $n$. Например, при $n = 0$ одно из возможных решений - $C_1 = 3$ и $C_2 = 0$. Тогда формула общего члена будет:

$$a_n = 3 \cdot \frac{1 + \sqrt{1}}{2}^n$$

Первые четыре члена этой последовательности:

$$a_1 = 3$$ $$a_2 = 6$$ $$a_3 = 12$$ $$a_4 = 24$$

Для других значений $n$ решение может быть сложнее или не существовать в явном виде. Вы можете найти больше информации о рекуррентных формулах и линейных рекуррентных последовательностях на следующих страницах .