Question

Помогите найти производные! y=(x2+1)*sqrt x y=sqrt 2x+1 y=1/sqrt2x+1

Answer 1

Конечно, я помогу вам найти производные данных функций. У вас есть несколько функций, и для каждой из них нужно найти производную.

Давайте начнем с функции \(y = (x^2 + 1) \cdot \sqrt{x}\).

Для этой функции используем правило производной произведения функций: \((uv)' = u'v + uv'\).

Пусть \(u = x^2 + 1\) и \(v = \sqrt{x}\).

Найдем производные этих функций:

\(u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x\) (производная \(x^2 + 1\))

\(v' = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) (производная \(\sqrt{x}\))

Теперь применим правило производной произведения:

\((x^2 + 1) \cdot \sqrt{x} = u \cdot v\)

\(\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = (2x) \cdot \sqrt{x} + (x^2 + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Теперь перейдем ко второй функции: \(y = \sqrt{2x + 1}\).

Для нахождения производной используем правило производной композиции функций \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\).

Здесь \(f(u) = \sqrt{u}\) и \(u = 2x + 1\).

Найдем производные этих функций:

\(f'(u) = \frac{d}{du}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}}\) (производная \(\sqrt{u}\))

\(u' = \frac{d}{dx}(2x + 1) = 2\) (производная \(2x + 1\))

Теперь применим правило производной композиции функций:

\(\sqrt{2x + 1} = f(u)\)

\(\frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot u' = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot 2\)

Наконец, для третьей функции \(y = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}\).

Применим правило производной частного: \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

Здесь \(u = 1\) и \(v = \sqrt{2x + 1}\).

Найдем производные этих функций:

\(u' = \frac{d}{dx}(1) = 0\) (производная константы)

\(v' = \frac{d}{dx}(\sqrt{2x + 1}) = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}}\) (производная \(\sqrt{2x + 1}\))

Применим правило производной частного:

\(\frac{1}{\sqrt{2x + 1}} = \frac{u}{v}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 \cdot \sqrt{2x + 1} - 1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}}}{(2x + 1)}\)

Это даёт нам производные всех трех функций. Если есть что-то еще, в чем я могу помочь, или если нужно что-то прояснить, пожалуйста, скажите!