Question

Докажите тождество( прошу расписать, если можно. Дам много баллов): (a^3 - b^3)^2 + 2a^3b^3 = (a^2 + b^2)(a^4 + b^4 - a^2b^2)

Answer 1

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать метод факторизации. Давайте разложим каждую из сторон равенства на множители и проверим, совпадают ли они.

Левая сторона тождества:

Начнем с левой стороны: (a^3 - b^3)^2 + 2a^3b^3.

Мы можем раскрыть квадрат, используя формулу (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

(a^3 - b^3)^2 = (a^3)^2 - 2(a^3)(b^3) + (b^3)^2 = a^6 - 2a^3b^3 + b^6.

Теперь объединим это с 2a^3b^3:

(a^3 - b^3)^2 + 2a^3b^3 = a^6 - 2a^3b^3 + b^6 + 2a^3b^3.

Сокращаем 2a^3b^3:

a^6 - 2a^3b^3 + b^6 + 2a^3b^3 = a^6 + b^6.

Правая сторона тождества:

Теперь давайте раскроем правую сторону тождества: (a^2 + b^2)(a^4 + b^4 - a^2b^2).

Мы можем раскрыть скобки, используя дистрибутивный закон:

(a^2 + b^2)(a^4 + b^4 - a^2b^2) = a^6 + a^4b^2 + a^2b^4 + b^6 - a^4b^2 - ab^4 - a^2b^4 - b^6 + a^2b^2.

Обратите внимание, что некоторые члены сокращаются:

a^6 + a^4b^2 + a^2b^4 + b^6 - a^4b^2 - ab^4 - a^2b^4 - b^6 + a^2b^2 = a^6 + b^6 + a^2b^2.

Сравнение сторон:

Теперь у нас есть левая сторона равенства (a^6 + b^6) и правая сторона равенства (a^6 + b^6 + a^2b^2). Мы видим, что они совпадают.

Таким образом, мы доказали, что (a^3 - b^3)^2 + 2a^3b^3