Question

Сумма квадратов числителя и знаменателя некоторой дроби равна 25.Сумма этой дроби и обратной дроби равна 25/12 . Найти дробь.. Пожалуйста, очень надо..

Answer 1

Давайте обозначим неизвестные числа в числителе и знаменателе дроби. Пусть числитель равен \( x \), а знаменатель равен \( y \). Тогда у нас есть следующие уравнения:

1. Сумма квадратов числителя и знаменателя равна 25: \[ x^2 + y^2 = 25 \]

2. Сумма дроби и обратной ей дроби равна \( \frac{25}{12} \): \[ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12} \]

Теперь давайте решим эту систему уравнений. Умножим второе уравнение на \( xy \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ x^2 + y^2 = 25 \]

\[ x^2y + y^2x = \frac{25}{12}xy \]

Теперь сложим оба уравнения:

\[ x^2 + y^2 + x^2y + y^2x = 25 + \frac{25}{12}xy \]

\[ 2x^2 + 2y^2 = \frac{300}{12}xy + 25 \]

\[ x^2 + y^2 = \frac{150}{12}xy + \frac{25}{2} \]

Теперь мы видим, что у нас есть \( x^2 + y^2 \) как в первом уравнении. Заменим это значение:

\[ 25 = \frac{150}{12}xy + \frac{25}{2} \]

\[ 25 = \frac{25}{2} + \frac{25}{2} \]

Теперь мы можем выразить \( xy \):

\[ \frac{150}{12}xy = \frac{25}{2} \]

Упростим это уравнение:

\[ 12xy = 4 \times 25 \]

\[ 12xy = 100 \]

\[ xy = \frac{100}{12} \]

Теперь можем найти значения \( x \) и \( y \):

\[ x^2 + y^2 = 25 \]

\[ x^2 + \left(\frac{100}{12x}\right)^2 = 25 \]

\[ x^2 + \frac{10000}{144x^2} = 25 \]

\[ 144x^4 + 10000 = 25 \times 144x^2 \]

\[ 144x^4 - 3600x^2 + 10000 = 0 \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \( x^2 \), которое можно решить, например, с помощью дискриминанта. После нахождения \( x^2 \) вы сможете найти \( x \) и далее выразить \( y \).