Question

Y=x^4/(x-1)^3 помогите пожалуйста найти производные y'=

Answer 1

Для нахождения производной функции Y = (x^4)/(x-1)^3, мы можем использовать правило дифференцирования частного и правило дифференцирования композиции функций. Давайте посмотрим на каждый шаг подробнее.

Правило дифференцирования частного

Правило дифференцирования частного гласит, что если у нас есть функция F(x) = g(x) / h(x), то производная F'(x) вычисляется следующим образом:

F'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2

Применение правила дифференцирования частного

Применим это правило к нашей функции Y = (x^4)/(x-1)^3. Здесь g(x) = x^4, h(x) = (x-1)^3. Мы должны вычислить производные g'(x) и h'(x). Давайте начнем с этого.

Производная g(x) = x^4

Чтобы найти производную g'(x), мы можем использовать степенное правило дифференцирования. Для функции f(x) = x^n, производная f'(x) вычисляется следующим образом:

f'(x) = n * x^(n-1)

Применим это правило к нашей функции g(x) = x^4:

g'(x) = 4 * x^(4-1) = 4 * x^3

Производная h(x) = (x-1)^3

Чтобы найти производную h'(x), мы можем использовать правило дифференцирования степенной функции. Для функции f(x) = (x-a)^n, производная f'(x) вычисляется следующим образом:

f'(x) = n * (x-a)^(n-1)

Применим это правило к нашей функции h(x) = (x-1)^3:

h'(x) = 3 * (x-1)^(3-1) = 3 * (x-1)^2

Вычисление производной Y'(x)

Теперь, когда у нас есть производные g'(x) = 4 * x^3 и h'(x) = 3 * (x-1)^2, мы можем применить правило дифференцирования частного, чтобы найти производную Y'(x). Подставляя значения, получим:

Y'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2 = (4 * x^3 * (x-1)^3 - x^4 * 3 * (x-1)^2) / (x-1)^6

Упростим выражение:

Y'(x) = (4 * x^3 * (x-1)^3 - 3 * x^4 * (x-1)^2) / (x-1)^6

И это будет окончательным выражением для производной Y'(x) функции Y = (x^4)/(x-1)^3.