Question

Найдите на числовой окружности все точки M(t), соответствующие заданным формулам; составьте общую формулу для всех чисел, которым соответствуют найденные точки: t=Пи*n t=Пи*n/2 Пожалуйста, подробнее распишите Спасибо

Answer 1

Чтобы найти точки \( M(t) \) на числовой окружности, соответствующие заданным формулам \( t = \pi n \) и \( t = \frac{\pi n}{2} \), давайте рассмотрим параметризацию окружности в полярных координатах.

Уравнение окружности в полярных координатах имеет вид: \[ x = r \cos(t) \] \[ y = r \sin(t) \]

где \( r \) - радиус окружности, \( t \) - угол, задающий положение точки на окружности.

Теперь мы можем подставить наши формулы для \( t \) и найти точки \( M(t) \).

1. Для формулы \( t = \pi n \): Подставим \( t = \pi n \) в уравнения окружности: \[ x = r \cos(\pi n) \] \[ y = r \sin(\pi n) \]

Заметим, что \( \cos(\pi n) \) принимает значения 1, если \( n \) - четное число, и -1, если \( n \) - нечетное число. Аналогично, \( \sin(\pi n) \) равен 0 при \( n \) - целом числе.

Таким образом, точки \( M(t) \) для формулы \( t = \pi n \) имеют вид: \[ M(t) = (r, 0) \] при \( n \) - четное \[ M(t) = (-r, 0) \] при \( n \) - нечетное

2. Для формулы \( t = \frac{\pi n}{2} \): Подставим \( t = \frac{\pi n}{2} \) в уравнения окружности: \[ x = r \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) \] \[ y = r \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \]

Так как \( \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) \) равен 0 при четных значениях \( n \), а \( \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \) равен 1 при четных значениях \( n \), то точки \( M(t) \) для формулы \( t = \frac{\pi n}{2} \) будут: \[ M(t) = (0, r) \] при \( n \) - четное \[ M(t) = (0, -r) \] при \( n \) - нечетное

Таким образом, общая формула для точек на числовой окружности, которые соответствуют заданным формулам \( t = \pi n \) и \( t = \frac{\pi n}{2} \), может быть представлена как: \[ M(t) = (r \cos(\pi n), r \sin(\pi n)) \] при \( n \) - четное \[ M(t) = (r \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right), r \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right)) \] при \( n \) - нечетное

Это общее уравнение описывает точки на числовой окружности, соответствующие заданным условиям.