Question

Найти производную y=e^arcctg 2x

Answer 1

Для нахождения производной функции y = e^arcctg(2x), мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule). Давайте посмотрим, как это сделать.

Правило дифференцирования сложной функции (chain rule)

Для функции f(g(x)), производная f'(g(x)) может быть выражена следующим образом:

f'(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x)

где f'(x) обозначает производную функции f(x) и g'(x) обозначает производную функции g(x).

Применение правила дифференцирования сложной функции

Давайте применим правило дифференцирования сложной функции к нашей функции y = e^arcctg(2x).

1. Первым шагом найдем производную функции arcctg(2x). Обозначим эту функцию как u:

u = arcctg(2x)

Для нахождения производной arcctg(2x), мы можем использовать производную обратной тригонометрической функции:

du/dx = -1 / (1 + (2x)^2)

2. Теперь найдем производную функции y = e^u. Обозначим эту функцию как v:

v = e^u

Для нахождения производной e^u, мы можем использовать производную экспоненты:

dv/du = e^u

3. Наконец, мы можем найти производную функции y = e^arcctg(2x) путем применения правила дифференцирования сложной функции:

dy/dx = dv/du * du/dx

Подставим значения производных, которые мы нашли:

dy/dx = e^u * (-1 / (1 + (2x)^2))

Теперь, заменим u обратно на arcctg(2x):

dy/dx = e^arcctg(2x) * (-1 / (1 + (2x)^2))

Таким образом, производная функции y = e^arcctg(2x) равна e^arcctg(2x) * (-1 / (1 + (2x)^2)).