Question

2cos²x+5 sinx+1=0 решить

Answer 1

Давайте решим уравнение \(2\cos^2(x) + 5\sin(x) + 1 = 0\).

Сначала приведем его к более удобному виду. Используем тригонометрические тождества:

\[2\cos^2(x) + 5\sin(x) + 1 = 2(1 - \sin^2(x)) + 5\sin(x) + 1.\]

Раскроем скобки:

\[2 - 2\sin^2(x) + 5\sin(x) + 1 = -2\sin^2(x) + 5\sin(x) + 3.\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin(x)\):

\[-2\sin^2(x) + 5\sin(x) + 3 = 0.\]

Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена или дискриминанта. Дискриминант \(D\) для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае \(a = -2\), \(b = 5\), и \(c = 3\). Тогда:

\[D = 5^2 - 4(-2)(3) = 25 + 24 = 49.\]

Дискриминант положителен, значит, у нас есть два корня уравнения. Теперь воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

\[\sin(x) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставим значения:

\[\sin(x) = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2(-2)} = \frac{-5 \pm 7}{-4}.\]

Теперь рассмотрим два случая:

1. \[\sin(x) = \frac{-5 + 7}{-4} = \frac{1}{2}.\] 2. \[\sin(x) = \frac{-5 - 7}{-4} = 3.\]

Второй случай не имеет физического смысла, так как значение синуса ограничено диапазоном от -1 до 1. Таким образом, у нас есть только одно решение:

\[\sin(x) = \frac{1}{2}.\]

Это происходит, когда \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, уравнение \(2\cos^2(x) + 5\sin(x) + 1 = 0\) имеет решения \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.