Question

Знайти значення tgx*ctgy, якщо відомо, що sin(x+y)/sin(x-y)=1/3

Answer 1

Значення виразу tgx*ctgy можна знайти, використовуючи відоме співвідношення sin(x+y)/sin(x-y) = 1/3.

Значення tgx*ctgy

Для знаходження значення tgx*ctgy, спочатку розглянемо вираз sin(x+y)/sin(x-y) = 1/3.

За відомим тригонометричним співвідношенням, sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) та sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b), ми можемо переписати дане співвідношення у наступний спосіб:

(sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)) / (sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)) = 1/3.

Далі, спростимо цей вираз, помноживши чисельник і знаменник на sin(x)cos(y):

(sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y))(sin(x)cos(y)) / (sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y))(sin(x)cos(y)) = 1/3.

Після спрощення отримаємо:

(sin^2(x)cos^2(y) + cos^2(x)sin^2(y)) / (sin^2(x)cos^2(y) - cos^2(x)sin^2(y)) = 1/3.

Тепер, враховуючи тригонометричні співвідношення sin^2(x) + cos^2(x) = 1 та sin^2(y) + cos^2(y) = 1, ми можемо переписати вираз у наступний спосіб:

((1 - sin^2(x))(1 - sin^2(y)) + (1 - cos^2(x))(1 - cos^2(y))) / ((1 - sin^2(x))(1 - sin^2(y)) - (1 - cos^2(x))(1 - cos^2(y))) = 1/3.

Після спрощення отримаємо:

(2 - sin^2(x) - sin^2(y) - cos^2(x) - cos^2(y)) / (2 - sin^2(x) - sin^2(y) - cos^2(x) - cos^2(y)) = 1/3.

За відомим співвідношенням sin^2(x) + cos^2(x) = 1 та sin^2(y) + cos^2(y) = 1, ми можемо спростити вираз:

(2 - 2) / (2 - 2) = 1/3.

Отже, отримуємо:

0/0 = 1/3.

Висновок

Значення виразу tgx*ctgy не можна однозначно знайти, використовуючи відоме співвідношення sin(x+y)/sin(x-y) = 1/3.