Question

F(x)=1/4 * tg8x + корень из 2. Найдите f'(пи/4)

Answer 1

Чтобы найти производную функции \( f(x) = \frac{1}{4} + \tan^8(x) + \sqrt{2} \) и затем вычислить ее значение в точке \( x = \frac{\pi}{4} \), давайте выполним несколько шагов.

1. Найдем производную функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = 0 + 8 \tan^7(x) \sec^2(x) + 0 \]

\(\sec^2(x)\) - это квадрат секанса, определенного как \( \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \).

2. Подставим \( x = \frac{\pi}{4} \) в полученное выражение:

\[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 8 \tan^7\left(\frac{\pi}{4}\right) \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Значения тангенса и секанса в точке \( \frac{\pi}{4} \) хорошо известны: \[ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \quad \text{и} \quad \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \]

Подставим эти значения: \[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 8 \cdot 1^7 \cdot (\sqrt{2})^2 = 8 \cdot 2 = 16 \]

Таким образом, \( f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 16 \).