Question

Исследуйте функцию и постройте график!!!!!! y=x^4-2x^2

Answer 1

Функция, которую вы предоставили, выглядит следующим образом: y = x^4 - 2x^2. Давайте исследуем эту функцию и построим ее график.

Исследование функции:

Для начала, давайте проанализируем основные характеристики функции.

1. Область определения: Функция y = x^4 - 2x^2 определена для всех действительных чисел x.

2. Нули функции: Чтобы найти нули функции, мы должны решить уравнение x^4 - 2x^2 = 0. Факторизуя это уравнение, получим x^2(x^2 - 2) = 0. Таким образом, нули функции равны x = 0 и x = ±√2.

3. Знак функции: Чтобы определить знак функции на разных интервалах, мы можем использовать тест знаков. Рассмотрим интервалы (-∞, -√2), (-√2, 0), (0, √2) и (√2, +∞). В этих интервалах функция будет положительной, отрицательной, положительной и снова отрицательной соответственно.

4. Экстремумы функции: Чтобы найти экстремумы функции, мы должны найти значения x, где производная функции равна нулю или не существует. Возьмем первую производную функции и приравняем ее к нулю: 4x^3 - 4x = 0. Факторизуя это уравнение, получим x(x^2 - 1) = 0. Таким образом, экстремумы функции находятся в точках x = 0, x = -1 и x = 1.

5. Вторая производная и выпуклость функции: Возьмем вторую производную функции и проанализируем ее знак на разных интервалах. Вторая производная равна 12x^2 - 4. Рассмотрим интервалы (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1) и (1, +∞). На интервалах (-∞, -1) и (1, +∞) вторая производная положительна, а на интервалах (-1, 0) и (0, 1) она отрицательна. Это означает, что функция выпукла вниз на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), и выпукла вверх на интервалах (-1, 0) и (0, 1).

Построение графика:

Теперь, когда мы проанализировали функцию, давайте построим ее график.


На графике видно, что функция y = x^4 - 2x^2 имеет нули в точках x = 0 и x = ±√2. Она также имеет экстремумы в точках x = -1 и x = 1. Функция выпукла вниз на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), и выпукла вверх на интервалах (-1, 0) и (0, 1).

Надеюсь, эта информация полезна! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.