Question

Помогите решить уравнение sinx+sin2x+sin3x=0

Answer 1

Для решения данного уравнения sinx + sin2x + sin3x = 0, мы можем использовать формулу суммы синусов:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Применим эту формулу к уравнению:

sinx + sin2x + sin3x = 0

sinx + 2sinxcosx + (3sinx - 4sin^3x) = 0

Перепишем уравнение:

-4sin^3x + 3sinx + 2sinxcosx + sinx = 0

Приведем подобные слагаемые:

-4sin^3x + 4sinx + 2sinxcosx = 0

Вынесем sinx за скобки:

sinx(-4sin^2x + 4 + 2cosx) = 0

Теперь рассмотрим два случая:

1) sinx = 0:

Если sinx = 0, то x = 0, так как sin0 = 0.

2) -4sin^2x + 4 + 2cosx = 0:

Перепишем уравнение в виде:

4sin^2x - 2cosx - 4 = 0

Применим тригонометрическую формулу:

cos^2x = 1 - sin^2x

4(1 - cos^2x) - 2cosx - 4 = 0

Раскроем скобки:

4 - 4cos^2x - 2cosx - 4 = 0

-4cos^2x - 2cosx = 0

Вынесем -2cosx за скобки:

-2cosx(cosx + 2) = 0

Теперь рассмотрим два случая:

a) -2cosx = 0:

Если -2cosx = 0, то cosx = 0. Решениями этого уравнения будут x = π/2 + πk, где k - целое число.

b) cosx + 2 = 0:

Если cosx + 2 = 0, то cosx = -2. Но такого значения косинуса не существует, так как его значения лежат в интервале [-1, 1]. Поэтому этот случай не имеет решений.

Итак, решениями уравнения sinx + sin2x + sin3x = 0 являются x = 0, а также x = π/2 + πk, где k - целое число.