Question

Sinx · tgx = Cosx + tgxHELP!!! СРОЧНО!

Answer 1

$\dispaystyle sinx*tgx=cosx+tgx$

по определению tgx 
х≠ πn/2. n∈Z

решаем уравнение:

$\dispaystyle sinx*tgx-cosx-tgx=0\\tgx(sinx-1)-cosx=0\\ \frac{sinx(sinx-1)}{cosx}- \frac{cos^2x}{cosx}=0\\ \frac{sin^2x-sinx-cos^2x}{cosx}=0$

Cosx≠0 по определению tgx. значит рассматривать можно только числитель

$\dispaystyle sin^2x-sinx-(1-sin^2x)=0\\sin^2x-sinx-1+sin^2x=0\\2sin^2x-sinx-1=0\\sinx=t\\2t^2-t-1=0\\D=1+8=9=3^2\\t_1=(1+3)/4=1; t_2=(1-3)/4=-1/2$

т.к. cosx≠0. то sin x≠1

значит нам подходит только второй корень

$\dispaystyle sinx=- \frac{1}{2}\\x_1=- \frac{ \pi }{6}+2 \pi n; n\in Z\\x_2= \frac{7 \pi }{6}+2 \pi n; n\in Z$

Answer 2

$sinx * tgx = cosx + tgx$
ОДЗ:
$x \neq \frac{ \pi }{2} + \pi n$, т.к. при этих значениях тангенс не определен.

$sinx * tgx = cosx + tgx|:tgx$
$sinx = \frac{cosx}{tgx} + 1$
$sinx = cosx* \frac{cosx}{sinx} + 1$
$sinx = \frac{cos^2x}{sinx} +1$
$\frac{sin^2x-cos^2x}{sinx} =1$
$sin^2x-cos^2x=sinx$
$sin^2x - (1-sin^2x) = sinx$
$2sin^2x-sinx-1=0$
замена: $sinx=a$
$2a^2-a-1=0$
$D = (-1)^2-4*(-1)*2 = 9 = 3^2$
$a_{1}= \frac{1+3}{4} =1$
$a_{2}= \frac{1-3}{4} =- \frac{1}{2}$
обратная замена:
$sinx = 1$
$x = (-1)^n \frac{ \pi }{2} + \pi n$ - не удовлетворяет ОДЗ
$sinx =- \frac{1}{2}$
$x_{1}= - \frac{ \pi }{6} +2 \pi n$
$x_{2}= \frac{7\pi }{6} +2 \pi n$
ответ: $- \frac{ \pi }{6} +2 \pi n$; $\frac{7\pi }{6} +2 \pi n$