Question

Объясните решение...

Answer 1

Для начала найдём критические точки(возможные точки min или max). Для этого найдём производную и приравняем её к нулю:
$f'(x)=(x^2-37x+37)'*e^{3-x}+(x^2-37x+37)*(e^{3-x})'=\\=(2x-37x)*e^{3-x}+(x^2-37x+37)*(-e^{3-x})\\\\f'(x)=0\\(2x-37x)*e^{3-x}+(x^2-37x+37)*(-e^{3-x})=0$
Разделим всё уравнение на $e^{3-x}$, т.к. при любых x оно больше нуля(по определению показательной функции):
$(2x-37x)+(x^2-37x+37)*(-1)=0\\2x-37-x^2+37x-37=0\\-x^2+39x-2*37=0\\x^2-39x+2*37=0$
Корни можно находить или по Дискриминанту или по теореме Виета(с подбором значения). Я воспользуюсь т. Виета:
{x₁+x₂=39
{x₁·x₂=2*37
Легко заметить что это корни 2 и 37. Это и будут критические точки.
Теперь нужно кое-что вспомнить. Когда производная положительная - тогда возрастает функция, отрицательная - убывает. Если в точке производная меняет свой знак с отрицательной на положительную, то эта точка и является точкой минимума.
Определим знаки производной(с помощью метода интервалов) и сразу же найдём точку минимума.
Вложение.
x=2 - точка min