Question

Измерение дальности до объекта осуществляется без систематических ошибок. Случайная ошибка подчиняется нормальному закону со средним квадратическим отклонением 25 метров. Найти вероятность измерения дальности с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 25 метров

Answer 1

Систематической погрешности нет.  Ошибка измерения определяется только случайной погрешностью.
Нормальный закон распределения со средним квадратичным отклонением σ означает, что функция плотности вероятности имеет вид:
$f(x)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma } } e^{- \frac{x^2}{2 \sigma ^2} }$ (1)

График функции (1) имеет вид "колокола" симметричного относительно прямой х=0. (В более общем виде тут еще задействовано матожидание (или "среднее значение" х) m (и колокол тогда смещатся), но тогда в смысле ошибок можно было бы говорить о наличии систематической погрешности, а она у нас равна 0. Вот мы и считаем что функция распределения вероятности симметрична относительно 0 ).

С учетом того, что среднее квадратичное отклонение σ=25 функция (1) примет вид:
$f(x)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi 25 } } e^{- \frac{x^2}{2*25} }$ (2)
Функция плотности вероятности f(x) является 1-й производной функции распределения случайной  величины x F(x). Т.е:
$f(x)= \frac{dF}{dx}$ (3)

Что означают такие функции? Что можно найти с их помощью?
Например вероятность того, что случайная величина х попадет в диапазон (интервал) (a1; a2) определяется отношением:
$P(a, b)= \int\limits^{b}_{a} f{x} , dx=F(a)-F(b)$ (4)
При этом функция распределения F(x) задает вероятность попадания случайной величины в интервал (-∞, x).
 Итак У нас известна функция распределения вероятности (2) известен задан диапазон в который должна попасть случайная величина (наша погрешность), (-25, 25 ). Чтобы найти вероятность того, что ошибка не вылезет за пределы заданного интервала, все что нам нужно сделать, это взять интеграл вида (4), подставив туда вместо f(x) её выражение (2) и вместо пределов интегрирования поставить границы интервала -25 и 25. Т.е.
$P(-25,25)= \int\limits^{25}_{-25} { \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma } } e^{- \frac{x^2}{2 \sigma ^2} } } \, dx = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi 25 }}\int\limits^{25}_{-25} e^{- \frac{x^2}{2*25^2} } } \, dx$ (5)
И все бы хорошо, НО интеграл вида (5) "неберушка", т.е. его нельзя выразить в элементарных функциях. Исключение составляют интегралы с бесконечными, или "полубесконечными" пределами интегрирования (интеграл Пуассона например). Что нам делать? Как быть? Инегралы такого рода можно посчитать различными способами численно (приближенно) с любой наперед заданной точностью. Мы этого правда делать не будем. Это уже все проделано до нас и составлено уйма таблиц. Их можно найти и в книжном(бумажном)  и в электроном вариантах. Однако есть один момент.Затабулировано целое семейство похожих функций, имеющих к тому же похожие названия, например мне по запросу навскидку попались попадались такие:
1) Функция Лапласа (в другом месте Интеграл вероятности) или даже так:
Функция стандартного нормального распределения
$F(x)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } } \int\limits^x_0 {e^{- \frac{t^2}{2} }} \, dt$ (6)

2) Еще один интеграл вероятности:
$F(t)= \frac{2}{ \sqrt{\pi } } \int\limits^t_0 {e^{- t^2 }} \, dt$  (7)

3) где то вылезла таблица функции
$F(x)= \int\limits^x_0 {e^{-t^2} \, dt$ (8).
Что с этим делать? Смириться и внимательно смотреть, какая именно функция дана в таблице. При этом исходный интеграл (5) можно свести к табличному интегралу путем замены переменных и вынесения множителя.
Например так:
$\int\limits^{25}_{-25} { \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma } } e^{- \frac{x^2}{2 \sigma ^2} } } \, dx$
Подынтегральная функция (четная) ⇒ можно записать:
$\int\limits^{25}_{-25} { \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma } } e^{- \frac{x^2}{2 \sigma ^2} } } \, dx = 2*\int\limits^{25}_{0} { \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma } } e^{- \frac{x^2}{2 \sigma ^2} } } \, dx$ (9)
далее вводим новую переменную
$u=x/ \sigma$ тогда
$x=u* \sigma$      $dx=\sigma du$
при этом если x=0, то u=0,
x=25,   u=σx=σ*25=A
интеграл (9) приобретает вид:
$2*\int\limits^{A}_{0} { \frac{\sigma }{ \sqrt{2 \pi \sigma } } e^{- \frac{u^2}{2 } } } \, du=2*\frac{ \sqrt{\sigma } }{ \sqrt{2 \pi }}*\int\limits^{A}_{0} e^{- \frac{u^2}{2 } } } \, du=2*\sqrt{\sigma }*\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi }}*\int\limits^{A}_{0} e^{- \frac{u^2}{2 } } } \, du$ (10)
Получили интеграл вида (6) умноженный на 2σ,
ВНИМАНИЕ! ПРЕДЕЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ИЗМЕНИЛИСЬ!

Тот, кто "дружит" с электронными таблицами может поискать в них похожие функции. Это будет удобно, если необходимо выполнить "серию" расчетов, мне например (после некоторых мытарств) удалось в своем Сalc( у меня Libre Office 4.2 ) найти функцию 

NORMDIST(X; m; σ; C), которая в зависимости от параметра C выдает
значение либо функции распределения случайной величины (с=1), либо значение плотности вероятности (c=0) в точке X.
Тут
 m матожидание случайной величины, у нас оно =0 как мы уже говорили выше.
 σ среднеквадратичное отклонение =25.

Таким образом вычиление интеграла (5) обошлось сравнительно "малой кровью"
когда в таблице вычислили выражение:
NORMDIST(25; 0; 25; 1) - NORMDIST(-25; 0; 25; 1)
 Итого
Ответ P(-25;25)≈0,6827