Question

Задание во вложении)Надеюсь на подробное объяснения.

Answer 1

Воспользуемся формулой синуса суммы

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$

Тогда вычислим просто

 

$\sin(\frac{3\pi}{2}+x)=\sin\frac{3\pi}{2}\cos x+\sin x\cos\frac{3\pi}{2}=-\cos x$

 

Преобразуем уравнение к виду

 

$2\cos^2 x=\sqrt{3}\cos{x}$

 

$2\cos^2 x-\sqrt{3}\cos{x}=0$

 

$\cos{x}*(2\cos{x}-\sqrt{3})=0$

 

Получается два решения

$1)\quad \cos{x}=0$

 

$x_1=\frac{\pi}{2}+\pi*n,\quad n\in Z$

 

Это - первая серия решений.

 

$2)\quad 2\cos{x}-\sqrt{3}=0$

 

$\cos{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

 

$x_2=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi*k,\quad k\in Z$

 

Это - вторая серия решений.

 

Пусть в первой серии решений  n=(-4), тогда

 

$x_{1}_{1}=\frac{\pi}{2}-4\pi$

 

$x_{11}=-\frac{7\pi}{2}\in\left[-\frac{7\pi}{2};\,2\pi\right]$

 

Пусть в первой серии решений  n=(-3), тогда

 

$x_{12}=\frac{\pi}{2}-3\pi$

 

$x_{12}=-\frac{5\pi}{2}\in\left[-\frac{7\pi}{2};\,-2\pi\right]$

 

При других n решения "вылетают" из заданного промежутка.

 

Несколько сложнее со второй серией решений.

При к=(-1) снова получаем только одно решение

 

$x_{21}=-\frac{\pi}{6}-2\pi$

 

$x_{21}=-\frac{13\pi}{6}\in\left[-\frac{7\pi}{2};\,-2\pi]\right$

 

$x_{22}=\frac{\pi}{6}-2\pi$

 

$x_{22}=-\frac{11\pi}{6}\notin\left[-\frac{7\pi}{2},\,-2\pi\right]$

 

 При остальных к - решения "вылетают" из отрезка

 

Получается только 3 решения

$x_{11}=-\frac{7\pi}{2}$

 

$x_{12}=-\frac{5\pi}{2}$

 

$x_{21}=-\frac{13\pi}{6}$