Question

Пожалуйста решите номер 38.5 ( а,б,в,г) Или хотя бы 1 . Я не понимаю как решать

Answer 1

Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни или же если оба уравнения не имеют корней.

a) $\sqrt{x+1}=3<span>\; \;\; x+1 \geq 0\; \; \; x \geq -1</span>\\x+1=3^2\\x+1=9\\x=8\\\\ x^2-7x-8=0\\ \left \{ {{x_1*x_2=-8} \atop {x_1+x_2=7}} \right.\; \; \; =\ \textgreater \ x_1=-1;\; \; x_2=8$
Итак, множества корней у данных уравнений не совпадают.
Вывод - уравнения не являются равносильными.

б)  $\sqrt{x} =x-2\; \;\; \; x-2 \geq 0\; \; \; x \geq 2\\x=(x-2)^2\\x=x^2-4x+4\\x^2-5x+4=0\\ \left \{ {{x_1*x_2=4} \atop {x_1+x_2=5}} \right.\; \; \; =\ \textgreater \ x_1=1;\; \; x_2=4\\x \geq 2\; \; =\ \textgreater \ x=4\\\\x^2-5x+4=0\\x_1=1;\; \; x_2=4$
Итак, множества корней у данных уравнений не совпадают.
Вывод - уравнения не являются равносильными.

в)$\sqrt{7-x}=-2$
   Данное уравнение не имеет действительных корней, т.к. квадратный корень есть число неотрицательное
  $x^2+4x+8=0\\D=4^2-4*1*8=16-32=-16\ \textless \ 0$
  Данное уравнение не имеет действительных корней, т.к. его дискриминант меньше нуля.
Итак, оба уравнения не имеют корней, следовательно, они являются равносильными.

г) $\sqrt{4x+1}=x-1\\x-1 \geq 0\\x \geq 1\\4x+1=(x-1)^2\\4x+1=x^2-2x+1\\x^2-6x=0\\x(x-6)=0\\x_1=0;\;\;\;x_2=6\\x \geq 1\; \; =\ \textgreater \ x=6\\\\x^2-12x+36=0\\(x-6)^2=0\\x-6=0\\x=6$
Итак, корни уравнений совпадают, следовательно, данные уравнения являются равносильными.