Question

Помогите решить дифф. уравнение. Решить нужно только первое задание. Желательно развернутое решение.

Answer 1

Уравнения такого вида называются уравнениями Бернулли. 
Решение будем искать в виде y=uv, где u и v - функции от x.
Сначала найдем какое нибудь частное решение уравнение $u'+u=0$ Переменные легко разделяются:
$\frac{du}{u} =-dx \\ ln|u|=-x+C_1 \\ u=e^{-x+C_1}=e^{C_1}e^{-x}=Ce^{-x}$ 
Это общее решение, положим С=1 получим частное решение $u=e^{-x}$
Теперь найдем v. Подставим в исходное уравнение y=uv=ve^{-x} и посмотрим что выйдет:
$(ve^{-x})'+ve^{-x}=x \sqrt{ve^{-x}} \\ v'e^{-x}-ve^{-x}+ve^{-x}=x \sqrt{ve^{-x}} \\ v'e^{-x}=x \sqrt{ve^{-x}} \\ \frac{v'}{ \sqrt{v}} = \frac{x\sqrt{e^{-x}}}{e^{-x}} \\ \int\limits \frac{dv}{ \sqrt{v} } = \int\limits x e^{ \frac{x}{2}} dx \\ 2\sqrt{v} = 2e^{ \frac{x}{2} }(x-2) +C_1\\ v=(e^{ \frac{x}{2} }(x-2) +C)^2$
Тогда $y=e^{-x}(e^{ \frac{x}{2} }(x-2) +C)^2$
Подставив вместо y и x нули, находим C=2 и частное решение, удовлетворяющее условию y(0)=0:
$y=e^{-x}(e^{ \frac{x}{2} }(x-2) +2)^2$