Question

Почему интеграл от dx равен x ?

Answer 1

Теорема. Если функция F1(x) b F2(x) - две первообразные от функции f(x) на отрезке [a;b], то разность между ними равна постоянному числу.                                                            
Доказательство.
F1`(x) = f(x)                                                                                               (1)F2`(x) = f(x), то F1`(x) - F2`(x) = Const.
φ(x) = F1 - F2φ`(x) = F1` - F2` = 0
Т.е.  обозначим:F1 (x) - F2 (x) =φ(x)                                                                    (2)Тогда на основании равенств (1) будет:F1`(x) - F2`(x) = f(x) - f(x) = 0  или  φ`(x) = [F1 (x) - F2 (x)]` = 0   при любом значении x на отрезке[a;b]. Но из равенства φ`(x) = 0 следует, что φ(x) есть постоянная.Действительно, применим теорему Лагранжа к функции φ(x), которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке [a;b]. Какова ни была точка x на отрезке [a;b], мы имеем в силу теоремы Лагранжа. 
 φ (x) - φ (a) = φ` (x) (x-a), где a<x<x.Так как φ` (x) = 0, то φ (x) - φ (a) = 0   или φ (x) = φ (a) 
(3)Таким образом, функция φ(x) в любой точке x отрезка [a;b] сохраняет значения φ(a), а это значит, что функция φ(x) является постоянной на отрезке [a;b]. Обозначая постоянную φ(a)через С, из равенств (2), (3) получаем:       F1 (x) - F2 (x) = СОпределение. Если функция F (x) является первообразной для f (x), то выражение F (x) + С называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается символом ∫ f (x) dx.Таким образом, по определению,∫ f (x) dx = F (x) + С, если F (x) = f (x).При этом функцию f (x) называют подынтегральной функцией, f (x) dx - подынтегральным выражением, знак ∫ - знаком интеграла.  Из этого определения следуют свойства:
1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если F`(x) = f (x), то и( ∫ f (x) dx )` = (F (x) + C)` =  f (x)
 (4)Последнее равенство нужно принимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражениюd ( ∫ f (x) dx ) = f (x) dx
(5)Это получается на основании формулы (4)3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная∫ dF (x) = F (x) + CС праведливость последнего равенства легко проверить  дифференцированием (дифференциала  от обоих частей равенства равны dFx))

или как в шутке, мелко и коротко, x - это тождественная функция (f(x)=x).