Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА, СРОЧНО!Докажите, что при любом значении p уравнение x^2-px+2p^2+1=0 не имеет корней.

Answer 1

Квадратное уравнение не имеет корней, если D <0
D=(-p)²-4·(2p²+1)=p²-8p²-4=-7p²-4<0 при любом p

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение \(x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0\). Мы хотим доказать, что при любом значении \(p\) уравнение не имеет корней.

Для того чтобы уравнение квадратное имело корни, дискриминант должен быть положительным. Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(ax^2 + bx + c = 0\) - общий вид квадратного уравнения.

В нашем случае:

\[a = 1, \quad b = -p, \quad c = 2p^2 + 1.\]

Теперь подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

\[D = (-p)^2 - 4(1)(2p^2 + 1).\]

Упростим выражение:

\[D = p^2 - 8p^2 - 4.\]

Комбинируем подобные члены:

\[D = -7p^2 - 4.\]

Теперь у нас есть выражение для дискриминанта. Чтобы утверждать, что уравнение не имеет корней, необходимо, чтобы дискриминант был отрицательным:

\[D < 0.\]

Таким образом, мы получаем неравенство:

\[-7p^2 - 4 < 0.\]

Добавим 4 к обеим сторонам:

\[-7p^2 < 4.\]

Разделим обе стороны на -7, помня о том, что деление на отрицательное число меняет направление неравенства:

\[p^2 > -\frac{4}{7}.\]

Теперь мы видим, что \(p^2\) должно быть положительным (так как дробь справа относительно 0), что означает, что \(p\) не может равняться 0. Следовательно, при любом значении \(p\) уравнение \(x^2 - px + 2p^2 + 1 = 0\) не имеет корней.