Question

Пусть к кривой y=1/x+2 проведена касательная в точке с абсциссой x0=1/2. Тогда абсцисса точки пересечения этой касательной с осью OX равна...

Answer 1

Запишем уравнение касательной в точке с абсциссой х=1/2.
$y=\frac{1}{x}+2 , y^{1}=-\frac{1}{x^{2}}$ 
Угловой коэффициент касательной равен $k=y^{1}(\frac{1}{2}})=-4 , \\ y(\frac{1}{2})= \frac{1}{\frac{1}{2}}+2=4$ 
Уравнение касательной: $y-4=-4(x-\frac{1}{2})\\y=-4x+6$
Касательная пересекает ось ОХ в точке, абсцисса которой равна х=3/2, так как
$-4x+6=0 , 4x=6, x=\frac{3}{2}$

Answer 2

Для нахождения абсциссы точки пересечения касательной к кривой \(y = \frac{1}{x} + 2\) с осью \(OX\), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции:

Кривая \(y = \frac{1}{x} + 2\) может быть записана в виде \(y = x^{-1} + 2\). Теперь найдем производную этой функции:

\[y' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\]

2. Найти угловой коэффициент касательной:

В точке касания касательной имеет тот же угловой коэффициент, что и кривая в этой точке. Подставим \(x = x_0 = \frac{1}{2}\) в производную:

\[y'(x_0) = -\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = -4\]

Угловой коэффициент касательной в точке \(x_0 = \frac{1}{2}\) равен -4.

3. Найти уравнение касательной:

Уравнение касательной имеет вид \(y - y_0 = m(x - x_0)\), где \(m\) - угловой коэффициент, а \((x_0, y_0)\) - координаты точки касания.

Так как точка касания известна (\(x_0 = \frac{1}{2}\), \(y_0 = \frac{1}{\frac{1}{2}} + 2 = 4\)), и угловой коэффициент равен -4, уравнение касательной:

\[y - 4 = -4\left(x - \frac{1}{2}\right)\]

Раскроем скобки и приведем уравнение к каноническому виду:

\[y = -4x + 6\]

4. Найти точку пересечения касательной с осью \(OX\):

Точка пересечения с осью \(OX\) имеет \(y\)-координату равную нулю. Подставим \(y = 0\) в уравнение касательной:

\[0 = -4x + 6\]

Решая это уравнение, получаем:

\[4x = 6 \implies x = \frac{3}{2}\]

Таким образом, абсцисса точки пересечения касательной с осью \(OX\) равна \(\frac{3}{2}\).